Cálculo Ejemplos

$\int_{3}^{5} \frac{3 x + 5}{x^{2} + 2 x - 3} d x$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1.1

Factoriza $x^{2} + 2 x - 3$ con el método AC.

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Paso 1.1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $2$ .

$- 1, 3$

Paso 1.1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{3 x + 5}{(x - 1) (x + 3)}$

Paso 1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

Paso 1.1.3

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}$

Paso 1.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x - 1) (x + 3)$ .

$\frac{(3 x + 5) (x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Paso 1.1.5

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(3 x + 5) (x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Paso 1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(3 x + 5) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Paso 1.1.6

Cancela el factor común de $x + 3$ .

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Paso 1.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{(3 x + 5) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Paso 1.1.6.2

Divide $3 x + 5$ por $1$ .

$3 x + 5 = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Paso 1.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.7.1

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 1.1.7.1.1

Cancela el factor común.

$3 x + 5 = \frac{A (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Paso 1.1.7.1.2

Divide $(A) (x + 3)$ por $1$ .

$3 x + 5 = (A) (x + 3) + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Paso 1.1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x + 5 = A x + A \cdot 3 + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Paso 1.1.7.3

Mueve $3$ a la izquierda de $A$ .

$3 x + 5 = A x + 3 \cdot A + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Paso 1.1.7.4

Cancela el factor común de $x + 3$ .

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Paso 1.1.7.4.1

Cancela el factor común.

$3 x + 5 = A x + 3 A + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Paso 1.1.7.4.2

Divide $(B) (x - 1)$ por $1$ .

$3 x + 5 = A x + 3 A + (B) (x - 1)$

Paso 1.1.7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x + 5 = A x + 3 A + B x + B \cdot - 1$

Paso 1.1.7.6

Mueve $- 1$ a la izquierda de $B$ .

$3 x + 5 = A x + 3 A + B x - 1 \cdot B$

Paso 1.1.7.7

Reescribe $- 1 B$ como $- B$ .

$3 x + 5 = A x + 3 A + B x - B$

Paso 1.1.8

Mueve $3 A$ .

$3 x + 5 = A x + B x + 3 A - B$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$3 = A + B$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$5 = 3 A - 1 B$

Paso 1.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$3 = A + B$

$5 = 3 A - 1 B$

$3 = A + B$

$5 = 3 A - 1 B$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 1.3.1

Resuelve $A$ en $3 = A + B$ .

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Paso 1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 3$ .

$A + B = 3$

$5 = 3 A - 1 B$

Paso 1.3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 3 - B$

$5 = 3 A - 1 B$

$A = 3 - B$

$5 = 3 A - 1 B$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $3 - B$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $5 = 3 A - 1 B$ por $3 - B$ .

$5 = 3 (3 - B) - 1 B$

$A = 3 - B$

Paso 1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.2.1

Simplifica $3 (3 - B) - 1 B$ .

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Paso 1.3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 = 3 \cdot 3 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 3 - B$

Paso 1.3.2.2.1.1.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$5 = 9 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 3 - B$

Paso 1.3.2.2.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$5 = 9 - 3 B - 1 B$

$A = 3 - B$

Paso 1.3.2.2.1.1.4

Reescribe $- 1 B$ como $- B$ .

$5 = 9 - 3 B - B$

$A = 3 - B$

$5 = 9 - 3 B - B$

$A = 3 - B$

Paso 1.3.2.2.1.2

Resta $B$ de $- 3 B$ .

$5 = 9 - 4 B$

$A = 3 - B$

$5 = 9 - 4 B$

$A = 3 - B$

$5 = 9 - 4 B$

$A = 3 - B$

$5 = 9 - 4 B$

$A = 3 - B$

Paso 1.3.3

Resuelve $B$ en $5 = 9 - 4 B$ .

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Paso 1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $9 - 4 B = 5$ .

$9 - 4 B = 5$

$A = 3 - B$

Paso 1.3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.3.2.1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 B = 5 - 9$

$A = 3 - B$

Paso 1.3.3.2.2

Resta $9$ de $5$ .

$- 4 B = - 4$

$A = 3 - B$

$- 4 B = - 4$

$A = 3 - B$

Paso 1.3.3.3

Divide cada término en $- 4 B = - 4$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 1.3.3.3.1

Divide cada término en $- 4 B = - 4$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

Paso 1.3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 1.3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

Paso 1.3.3.3.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

Paso 1.3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.3.3.1

Divide $- 4$ por $- 4$ .

$B = 1$

$A = 3 - B$

$B = 1$

$A = 3 - B$

$B = 1$

$A = 3 - B$

$B = 1$

$A = 3 - B$

Paso 1.3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $1$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = 3 - B$ por $1$ .

$A = 3 - (1)$

$B = 1$

Paso 1.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.4.2.1

Simplifica $3 - (1)$ .

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Paso 1.3.4.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$A = 3 - 1$

$B = 1$

Paso 1.3.4.2.1.2

Resta $1$ de $3$ .

$A = 2$

$B = 1$

$A = 2$

$B = 1$

$A = 2$

$B = 1$

$A = 2$

$B = 1$

Paso 1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = 2, B = 1$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x + 3}$

Paso 1.5

Elimina el cero de la expresión.

$\int_{3}^{5} \frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x + 3} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{3}^{5} \frac{2}{x - 1} d x + \int_{3}^{5} \frac{1}{x + 3} d x$

Paso 3

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{3}^{5} \frac{1}{x - 1} d x + \int_{3}^{5} \frac{1}{x + 3} d x$

Paso 4

Sea $u_{1} = x - 1$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{1} = x - 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 4.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{1} = x - 1$ .

$u_{lower} = 3 - 1$

Paso 4.3

Resta $1$ de $3$ .

$u_{lower} = 2$

Paso 4.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{1} = x - 1$ .

$u_{upper} = 5 - 1$

Paso 4.5

Resta $1$ de $5$ .

$u_{upper} = 4$

Paso 4.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 4$

Paso 4.7

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ , $d u_{1}$ y los nuevos límites de integración.

$2 \int_{2}^{4} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{3}^{5} \frac{1}{x + 3} d x$

Paso 5

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{2}^{4}) + \int_{3}^{5} \frac{1}{x + 3} d x$

Paso 6

Sea $u_{2} = x + 3$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 6.1

Deja $u_{2} = x + 3$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Paso 6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 6.1.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 6.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 6.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{2} = x + 3$ .

$u_{lower} = 3 + 3$

Paso 6.3

Suma $3$ y $3$ .

$u_{lower} = 6$

Paso 6.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{2} = x + 3$ .

$u_{upper} = 5 + 3$

Paso 6.5

Suma $5$ y $3$ .

$u_{upper} = 8$

Paso 6.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 6$

$u_{upper} = 8$

Paso 6.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{2}^{4}) + \int_{6}^{8} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 7

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{2}^{4}) + \ln (| u_{2} |)]_{6}^{8}$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.1

Evalúa $\ln (| u_{1} |)$ en $4$ y en $2$ .

$2 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |)) + \ln (| u_{2} |)]_{6}^{8}$

Paso 8.2

Evalúa $\ln (| u_{2} |)$ en $8$ y en $6$ .

$2 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |)) + (\ln (| 8 |)) - \ln (| 6 |)$

Paso 8.3

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 2 |)) + \ln (| 8 |) - \ln (| 6 |)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{| 4 |}{| 2 |}) + \ln (| 8 |) - \ln (| 6 |)$

Paso 9.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{| 4 |}{| 2 |}) + \ln (\frac{| 8 |}{| 6 |})$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $4$ es $4$ .

$2 \ln (\frac{4}{| 2 |}) + \ln (\frac{| 8 |}{| 6 |})$

Paso 10.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$2 \ln (\frac{4}{2}) + \ln (\frac{| 8 |}{| 6 |})$

Paso 10.3

Divide $4$ por $2$ .

$2 \ln (2) + \ln (\frac{| 8 |}{| 6 |})$

Paso 10.4

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $8$ es $8$ .

$2 \ln (2) + \ln (\frac{8}{| 6 |})$

Paso 10.5

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $6$ es $6$ .

$2 \ln (2) + \ln (\frac{8}{6})$

Paso 10.6

Cancela el factor común de $8$ y $6$ .

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Paso 10.6.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$2 \ln (2) + \ln (\frac{2 (4)}{6})$

Paso 10.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.6.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$2 \ln (2) + \ln (\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3})$

Paso 10.6.2.2

Cancela el factor común.

$2 \ln (2) + \ln (\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3})$

Paso 10.6.2.3

Reescribe la expresión.

$2 \ln (2) + \ln (\frac{4}{3})$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$2 \ln (2) + \ln (\frac{4}{3})$

Forma decimal:

$1.67397643 \dots$

Paso 12