Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{3} \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Paso 1

Sea $u = 1 - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 1 - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 1.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 1 - x$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Paso 1.3

Resta $0$ de $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 1 - x$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 3$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$u_{upper} = 1 - 3$

Paso 1.5.2

Resta $3$ de $1$ .

$u_{upper} = - 2$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 2$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{- 2} \frac{- 1}{u^{2}} d u$

Paso 2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{1}^{- 2} - \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{1}^{- 2} \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \int_{1}^{- 2} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Paso 4.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int_{1}^{- 2} u^{2 \cdot - 1} d u$

Paso 4.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \int_{1}^{- 2} u^{- 2} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$- (- u^{- 1}]_{1}^{- 2})$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $- u^{- 1}$ en $- 2$ y en $1$ .

$- ((- {(- 2)}^{- 1}) + 1^{- 1})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- \frac{1}{- 2} + 1^{- 1})$

Paso 6.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- (- - \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Paso 6.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- (1 (\frac{1}{2}) + 1^{- 1})$

Paso 6.2.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- (\frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Paso 6.2.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- (\frac{1}{2} + 1)$

Paso 6.2.6

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- (\frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Paso 6.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1 + 2}{2}$

Paso 6.2.8

Suma $1$ y $2$ .

$- \frac{3}{2}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{3}{2}$

Forma decimal:

$- 1.5$

Forma de número mixto:

$- 1 \frac{1}{2}$

Paso 8