Cálculo Ejemplos

$1 + \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \frac{1}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Paso 1.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

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Paso 2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$0 - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$0 - {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - {(x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Paso 2.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 2.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - x^{2 \cdot - 2} (2 x)$

Paso 2.4.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$0 - x^{- 4} (2 x)$

Paso 2.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 x^{- 4} x$

Paso 2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$0 - 2 (x^{1} x^{- 4})$

Paso 2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$0 - 2 x^{1 - 4}$

Paso 2.8

Resta $4$ de $1$ .

$0 - 2 x^{- 3}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 2 \frac{1}{x^{3}}$

Paso 3.2

Combina los términos.

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Paso 3.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$0 + \frac{- 2}{x^{3}}$

Paso 3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 - \frac{2}{x^{3}}$

Paso 3.2.3

Resta $\frac{2}{x^{3}}$ de $0$ .

$- \frac{2}{x^{3}}$