Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{3} \frac{x - 2}{x^{2} - 4 x} d x$

Paso 1

Sea $u = x^{2} - 4 x$ . Entonces $d u = (2 x - 4) d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = (x - 2) d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x^{2} - 4 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{2} - 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x - 4 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$2 x - 4$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x^{2} - 4 x$ .

$u_{lower} = 1^{2} - 4 \cdot 1$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 1$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u_{lower} = 1 - 4$

Paso 1.3.2

Resta $4$ de $1$ .

$u_{lower} = - 3$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x^{2} - 4 x$ .

$u_{upper} = 3^{2} - 4 \cdot 3$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$u_{upper} = 9 - 4 \cdot 3$

Paso 1.5.1.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$u_{upper} = 9 - 12$

Paso 1.5.2

Resta $12$ de $9$ .

$u_{upper} = - 3$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = - 3$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{- 3}^{- 3} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int_{- 3}^{- 3} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\int_{- 3}^{- 3} \frac{1}{2 u} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{- 3}^{- 3} \frac{1}{u} d u$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{- 3}^{- 3}$

Paso 5

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.1

Evalúa $\ln (| u |)$ en $- 3$ y en $- 3$ .

$\frac{1}{2} ((\ln (| - 3 |)) - \ln (| - 3 |))$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Resta $\ln (| - 3 |)$ de $\ln (| - 3 |)$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

Paso 5.2.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$0$

Paso 6