Cálculo Ejemplos

$\int_{\frac{1}{12}}^{\frac{1}{4}} \csc (2 π t) \cot (2 π t) d t$

Paso 1

Sea $u_{2} = \csc (2 π t)$ . Entonces $d u_{2} = - 2 π \cot (2 π t) \csc (2 π t) d t$ , de modo que $\frac{1}{- 2 π} d u_{2} = \cot (2 π t) \csc (2 π t) d t$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{2} = \csc (2 π t)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\csc (2 π t)$ .

$\frac{d}{d t} [\csc (2 π t)]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \csc (t)$ y $g (t) = 2 π t$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 π t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 π t]$

Paso 1.1.2.2

La derivada de $\csc (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d t} [2 π t]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 π t$ .

$- \csc (2 π t) \cot (2 π t) \frac{d}{d t} [2 π t]$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Como $2 π$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 π t$ con respecto a $t$ es $2 π \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \csc (2 π t) \cot (2 π t) (2 π \frac{d}{d t} [t])$

Paso 1.1.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \csc (2 π t) \cot (2 π t) (π \frac{d}{d t} [t])$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \csc (2 π t) \cot (2 π t) (π \cdot 1)$

Paso 1.1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.4.1

Multiplica $π$ por $1$ .

$- 2 \csc (2 π t) \cot (2 π t) π$

Paso 1.1.3.4.2

Reordena los factores de $- 2 \csc (2 π t) \cot (2 π t) π$ .

$- 2 π \cot (2 π t) \csc (2 π t)$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u_{2} = \csc (2 π t)$ .

$u_{lower} = \csc (2 π \frac{1}{12})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.1.1

Factoriza $2$ de $2 π$ .

$u_{lower} = \csc (2 (π) \frac{1}{12})$

Paso 1.3.1.2

Factoriza $2$ de $12$ .

$u_{lower} = \csc (2 (π) \frac{1}{2 (6)})$

Paso 1.3.1.3

Cancela el factor común.

$u_{lower} = \csc (2 π \frac{1}{2 \cdot 6})$

Paso 1.3.1.4

Reescribe la expresión.

$u_{lower} = \csc (π \frac{1}{6})$

Paso 1.3.2

Combina $π$ y $\frac{1}{6}$ .

$u_{lower} = \csc (\frac{π}{6})$

Paso 1.3.3

El valor exacto de $\csc (\frac{π}{6})$ es $2$ .

$u_{lower} = 2$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u_{2} = \csc (2 π t)$ .

$u_{upper} = \csc (2 π \frac{1}{4})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.1.1

Factoriza $2$ de $2 π$ .

$u_{upper} = \csc (2 (π) \frac{1}{4})$

Paso 1.5.1.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$u_{upper} = \csc (2 (π) \frac{1}{2 (2)})$

Paso 1.5.1.3

Cancela el factor común.

$u_{upper} = \csc (2 π \frac{1}{2 \cdot 2})$

Paso 1.5.1.4

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = \csc (π \frac{1}{2})$

Paso 1.5.2

Combina $π$ y $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \csc (\frac{π}{2})$

Paso 1.5.3

El valor exacto de $\csc (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$u_{upper} = 1$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 1$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{2}^{1} \frac{1}{- 2 π} d u_{2}$

Paso 2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{2}^{1} - \frac{1}{2 π} d u_{2}$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$- \frac{1}{2 π} u_{2}]_{2}^{1}$

Paso 4

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.1

Evalúa $- \frac{1}{2 π} u_{2}$ en $1$ y en $2$ .

$(- \frac{1}{2 π} \cdot 1) + \frac{1}{2 π} \cdot 2$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{2 π} + \frac{1}{2 π} \cdot 2$

Paso 4.2.2

Combina $\frac{1}{2 π}$ y $2$ .

$- \frac{1}{2 π} + \frac{2}{2 π}$

Paso 4.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.3.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{2 π} + \frac{2}{2 π}$

Paso 4.2.3.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{2 π} + \frac{1}{π}$

Paso 4.2.4

Para escribir $\frac{1}{π}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 π} + \frac{1}{π} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 4.2.5

Escribe cada expresión con un denominador común de $2 π$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.2.5.1

Multiplica $\frac{1}{π}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 π} + \frac{2}{π \cdot 2}$

Paso 4.2.5.2

Reordena los factores de $π \cdot 2$ .

$- \frac{1}{2 π} + \frac{2}{2 π}$

Paso 4.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 1 + 2}{2 π}$

Paso 4.2.7

Suma $- 1$ y $2$ .

$\frac{1}{2 π}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2 π}$

Forma decimal:

$0.15915494 \dots$