Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\sin (x)}{\sqrt{4 + \cos^{2} (x)}} d x$

Paso 1

Sea $u = \cos (x)$ . Entonces $d u = - \sin (x) d x$ , de modo que $- d u = \sin (x) d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \cos (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{- 1}{\sqrt{4 + u^{2}}} d u$

Paso 2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int - \frac{1}{\sqrt{4 + u^{2}}} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + u^{2}}} d u$

Paso 4

Sea $u = 2 \tan (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d u = 2 \sec^{2} (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec^{2} (t)$ es positiva.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Simplifica $\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}$ .

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Paso 5.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1.1

Aplica la regla del producto a $2 \tan (t)$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + 2^{2} \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 5.1.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 5.1.2

Factoriza $4$ de $4$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 5.1.3

Factoriza $4$ de $4 \tan^{2} (t)$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 5.1.4

Factoriza $4$ de $4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (1 + \tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 5.1.5

Reorganiza los términos.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 5.1.6

Aplica la identidad pitagórica.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 5.1.7

Reescribe $4 \sec^{2} (t)$ como ${(2 \sec (t))}^{2}$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 5.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$- \int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $2 \sec (t)$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $2 \sec (t)$ de $2 \sec^{2} (t)$ .

$- \int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común.

$- \int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

Paso 5.2.3

Reescribe la expresión.

$- \int \sec (t) d t$

Paso 6

La integral de $\sec (t)$ con respecto a $t$ es $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)$

Paso 7

Simplifica.

$- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Paso 8

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 8.1

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arctan (\frac{u}{2})$ .

$- \ln (| \sec (\arctan (\frac{u}{2})) + \tan (\arctan (\frac{u}{2})) |) + C$

Paso 8.2

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$- \ln (| \sec (\arctan (\frac{\cos (x)}{2})) + \tan (\arctan (\frac{\cos (x)}{2})) |) + C$

Paso 9

Reordena los términos.

$- \ln (| \sec (\arctan (\frac{1}{2} \cos (x))) + \tan (\arctan (\frac{1}{2} \cos (x))) |) + C$