Cálculo Ejemplos

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{π x}} d x

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{π x}} d x$

Paso 1

Escribe la integral como un límite a medida que

t

$t$ se acerca a

\infty

$\infty$ .

lim t \to \infty \int_{1}^{t} \frac{1}{\sqrt{π x}} d x

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{\sqrt{π x}} d x$

Paso 2

Sea

u = π x

$u = π x$ . Entonces

d u = π d x

$d u = π d x$ , de modo que

\frac{1}{π} d u = d x

$\frac{1}{π} d u = d x$ . Reescribe mediante

u

$u$ y

d

$d$

u

$u$ .

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Paso 2.1

Deja

u = π x

$u = π x$ . Obtén

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia

π x

$π x$ .

\frac{d}{d x} [π x]

$\frac{d}{d x} [π x]$

Paso 2.1.2

Como

π

$π$ es constante con respecto a

x

$x$ , la derivada de

π x

$π x$ con respecto a

x

$x$ es

π \frac{d}{d x} [x]

$π \frac{d}{d x} [x]$ .

π \frac{d}{d x} [x]

$π \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ donde

n = 1

$n = 1$ .

π \cdot 1

$π \cdot 1$

Paso 2.1.4

Multiplica

π

$π$ por

$1$ .

$π$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por

$x$ en

$u = π x$ .

$u_{lower} = π \cdot 1$

Paso 2.3

Multiplica

$π$ por

$1$ .

$u_{lower} = π$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por

$x$ en

$u = π x$ .

$u_{upper} = π t$

Paso 2.5

Los valores obtenidos para

$u_{lower}$ y

$u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = π t$

Paso 2.6

Reescribe el problema mediante

$u$ ,

$d u$ y los nuevos límites de integración.

$lim_{t \to \infty} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{π} d u$

Paso 3

Multiplica

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ por

$\frac{1}{π}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u} π} d u$

Paso 4

Dado que

$\frac{1}{π}$ es constante con respecto a

$u$ , mueve

$\frac{1}{π}$ fuera de la integral.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 5

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

$\sqrt{u}$ como

$u^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 5.2

Mueve

$u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia

$- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 5.3

Multiplica los exponentes en

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 5.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 5.3.2

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 5.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de

$u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a

$u$ es

$2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{π}^{π t}$

Paso 7

Combina

$\frac{1}{π}$ y

$2 u^{\frac{1}{2}}]_{π}^{π t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 u^{\frac{1}{2}}]_{π}^{π t}}{π}$

Paso 8

Evalúa

$2 u^{\frac{1}{2}}$ en

$π t$ y en

$π$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 {(π t)}^{\frac{1}{2}} - 2 π^{\frac{1}{2}}}{π}$

Paso 9

Evalúa el límite.

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Paso 9.1

Evalúa el límite.

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Paso 9.1.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que

$t$ se aproxima a

$\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} 2 {(π t)}^{\frac{1}{2}} - 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Paso 9.1.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que

$t$ se aproxima a

$\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} 2 {(π t)}^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Paso 9.2

Como la función

${(π t)}^{\frac{1}{2}}$ se acerca a

$\infty$ , la constante positiva

$2$ veces la función también se acerca a

$\infty$ .

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Paso 9.2.1

Considera el límite con el múltiplo constante

$2$ eliminado.

$\frac{lim_{t \to \infty} {(π t)}^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Paso 9.2.2

Reescribe

${(π t)}^{\frac{1}{2}}$ como

$\sqrt{π t}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \sqrt{π t} - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Paso 9.2.3

A medida que

$t$ se acerca a

$\infty$ para los radicales, el valor va a

$\infty$ .

$\frac{\infty - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Paso 9.3

Evalúa el límite.

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Paso 9.3.1

Evalúa el límite de

$2 π^{\frac{1}{2}}$ que es constante cuando

$t$ se acerca a

$\infty$ .

$\frac{\infty - 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Paso 9.3.2

Evalúa el límite de

$π$ que es constante cuando

$t$ se acerca a

$\infty$ .

$\frac{\infty - 2 π^{\frac{1}{2}}}{π}$

Paso 9.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.3.3.1

Infinito más o menos un número es infinito.

$\frac{\infty}{π}$

Paso 9.3.3.2

Infinito dividido por cualquier número finito y no nulo es infinito.

$\infty$