Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{π x}} d x$

Paso 1

Escribe la integral como un límite a medida que $t$ se acerca a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{\sqrt{π x}} d x$

Paso 2

Sea $u = π x$ . Entonces $d u = π d x$ , de modo que $\frac{1}{π} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = π x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Paso 2.1.2

Como $π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $π x$ con respecto a $x$ es $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Paso 2.1.4

Multiplica $π$ por $1$ .

$π$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = π x$ .

$u_{lower} = π \cdot 1$

Paso 2.3

Multiplica $π$ por $1$ .

$u_{lower} = π$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = π x$ .

$u_{upper} = π t$

Paso 2.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = π t$

Paso 2.6

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$lim_{t \to \infty} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{π} d u$

Paso 3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{π}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u} π} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{π}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{π}$ fuera de la integral.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 5

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 5.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 5.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 5.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 5.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 5.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{π}^{π t}$

Paso 7

Combina $\frac{1}{π}$ y $2 u^{\frac{1}{2}}]_{π}^{π t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 u^{\frac{1}{2}}]_{π}^{π t}}{π}$

Paso 8

Evalúa $2 u^{\frac{1}{2}}$ en $π t$ y en $π$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 {(π t)}^{\frac{1}{2}} - 2 π^{\frac{1}{2}}}{π}$

Paso 9

Evalúa el límite.

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Paso 9.1

Evalúa el límite.

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Paso 9.1.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} 2 {(π t)}^{\frac{1}{2}} - 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Paso 9.1.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} 2 {(π t)}^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Paso 9.2

Como la función ${(π t)}^{\frac{1}{2}}$ se acerca a $\infty$ , la constante positiva $2$ veces la función también se acerca a $\infty$ .

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Paso 9.2.1

Considera el límite con el múltiplo constante $2$ eliminado.

$\frac{lim_{t \to \infty} {(π t)}^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Paso 9.2.2

Reescribe ${(π t)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{π t}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \sqrt{π t} - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Paso 9.2.3

A medida que $t$ se acerca a $\infty$ para los radicales, el valor va a $\infty$ .

$\frac{\infty - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Paso 9.3

Evalúa el límite.

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Paso 9.3.1

Evalúa el límite de $2 π^{\frac{1}{2}}$ que es constante cuando $t$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty - 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Paso 9.3.2

Evalúa el límite de $π$ que es constante cuando $t$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty - 2 π^{\frac{1}{2}}}{π}$

Paso 9.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.3.3.1

Infinito más o menos un número es infinito.

$\frac{\infty}{π}$

Paso 9.3.3.2

Infinito dividido por cualquier número finito y no nulo es infinito.

$\infty$