Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sqrt{1 + \tan^{2} (x)} d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Reorganiza los términos.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sqrt{\tan^{2} (x) + 1} d x$

Paso 1.2

Aplica la identidad pitagórica.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sqrt{\sec^{2} (x)} d x$

Paso 1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec (x) d x$

Paso 2

La integral de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

Paso 3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1

Evalúa $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ en $\frac{π}{3}$ y en $0$ .

$\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{3})$ es $2$ .

$\ln (| 2 + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Paso 3.2.2

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{3})$ es $\sqrt{3}$ .

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Paso 3.2.3

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| 1 + \tan (0) |)$

Paso 3.2.4

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| 1 + 0 |)$

Paso 3.2.5

Suma $1$ y $0$ .

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| 1 |)$

Paso 3.2.6

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 + \sqrt{3} |}{| 1 |})$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

$2 + \sqrt{3}$ es aproximadamente $3.7320508$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| 1 |})$

Paso 3.3.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{1})$

Paso 3.3.3

Divide $2 + \sqrt{3}$ por $1$ .

$\ln (2 + \sqrt{3})$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\ln (2 + \sqrt{3})$

Forma decimal:

$1.31695789 \dots$