Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{9} (x) \sin^{5} (x) d x$

Paso 1

Factoriza $\cos^{8} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{8} (x) \cos (x) \sin^{5} (x) d x$

Paso 2

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\cos (x)}^{2 (4)} \cos (x) \sin^{5} (x) d x$

Paso 2.2

Reescribe ${\cos (x)}^{2 (4)}$ como exponenciación.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\cos^{2} (x))}^{4} \cos (x) \sin^{5} (x) d x$

Paso 3

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\cos^{2} (x)$ como $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \sin^{2} (x))}^{4} \cos (x) \sin^{5} (x) d x$

Paso 4

Sea $u_{1} = \sin (x)$ . Entonces $d u_{1} = \cos (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\cos (x)} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{1} = \sin (x)$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.1.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Paso 4.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{1} = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Paso 4.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 4.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{1} = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Paso 4.5

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$u_{upper} = 1$

Paso 4.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Paso 4.7

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ , $d u_{1}$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{1} {(1 - {u_{1}}^{2})}^{4} {u_{1}}^{5} d u_{1}$

Paso 5

Sea $u_{2} = 1 - {u_{1}}^{2}$ . Entonces $d u_{2} = - 2 u_{1} d u_{1}$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 5.1

Deja $u_{2} = 1 - {u_{1}}^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $1 - {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 - {u_{1}}^{2}]$

Paso 5.1.2

Diferencia.

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Paso 5.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - {u_{1}}^{2}$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

Paso 5.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $1$ con respecto a $u_{1}$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$ .

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Paso 5.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $- {u_{1}}^{2}$ con respecto a $u_{1}$ es $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - (2 u_{1})$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 u_{1}$

Paso 5.1.4

Resta $2 u_{1}$ de $0$ .

$- 2 u_{1}$

Paso 5.2

Sustituye el límite inferior por $u_{1}$ en $u_{2} = 1 - {u_{1}}^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - 0^{2}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Paso 5.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Paso 5.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 5.4

Sustituye el límite superior por $u_{1}$ en $u_{2} = 1 - {u_{1}}^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - 1^{2}$

Paso 5.5

Simplifica.

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Paso 5.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Paso 5.5.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Paso 5.5.2

Resta $1$ de $1$ .

$u_{upper} = 0$

Paso 5.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Paso 5.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} {\sqrt{- u_{2} + 1}}^{4} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reescribe ${\sqrt{- u_{2} + 1}}^{4}$ como ${(- u_{2} + 1)}^{2}$ .

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Paso 6.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{- u_{2} + 1}$ como ${(- u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} {({(- u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{4} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Paso 6.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 4} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Paso 6.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{4}{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Paso 6.1.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 6.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Paso 6.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Paso 6.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Paso 6.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{2}{1}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Paso 6.1.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} {(- u_{2} + 1)}^{2} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Paso 6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} {(- u_{2} + 1)}^{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Paso 6.3

Combina ${u_{2}}^{4}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{0} {(- u_{2} + 1)}^{2} (- \frac{{u_{2}}^{4}}{2}) d u_{2}$

Paso 6.4

Combina ${(- u_{2} + 1)}^{2}$ y $\frac{{u_{2}}^{4}}{2}$ .

$\int_{1}^{0} - \frac{{(- u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{4}}{2} d u_{2}$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{1}^{0} \frac{{(- u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{4}}{2} d u_{2}$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{0} {(- u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Paso 9

Expande ${(- u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{4}$ .

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Paso 9.1

Reescribe ${(- u_{2} + 1)}^{2}$ como $(- u_{2} + 1) (- u_{2} + 1)$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} (- u_{2} + 1) (- u_{2} + 1) {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Paso 9.2