Cálculo Ejemplos

${(4 - \frac{1}{3} x^{2})}^{3}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = 4 - \frac{1}{3} x^{2}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 - \frac{1}{3} x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [4 - \frac{1}{3} x^{2}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [4 - \frac{1}{3} x^{2}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 - \frac{1}{3} x^{2}$ .

$3 {(4 - \frac{1}{3} x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [4 - \frac{1}{3} x^{2}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{3}$ .

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [4 - \frac{1}{3} x^{2}]$

Paso 2.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{3}$ .

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [4 - \frac{x^{2}}{3}]$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - \frac{x^{2}}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}]$ .

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}])$

Paso 2.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}])$

Paso 2.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}]$ .

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}]$

Paso 2.6

Como $- \frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x^{2}}{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.7

Simplifica los términos.

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Paso 2.7.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.7.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 3$ .

$\frac{- 3}{3} {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.7.3

Combina $\frac{- 3}{3}$ y ${(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}$ .

$\frac{- 3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.7.4

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 2.7.4.1

Factoriza $3$ de $- 3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}$ .

$\frac{3 (- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2})}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.7.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.7.4.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2})}{3 (1)} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.7.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2})}{3 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.7.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}}{1} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.7.4.2.4

Divide $- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}$ por $1$ .

$- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (2 x)$

Paso 2.9

Simplifica la expresión.

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Paso 2.9.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} x$

Paso 2.9.2

Reordena los factores de $- 2 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} x$ .

$- 2 x {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}$