Cálculo Ejemplos

$lim_{y \to 2} {(\frac{4 y^{3} + 8 y}{y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 1

Mueve el exponente $\frac{1}{3}$ de ${(\frac{4 y^{3} + 8 y}{y + 4})}^{\frac{1}{3}}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

${(lim_{y \to 2} \frac{4 y^{3} + 8 y}{y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $y$ se aproxima a $2$ .

${(\frac{lim_{y \to 2} 4 y^{3} + 8 y}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $y$ se aproxima a $2$ .

${(\frac{lim_{y \to 2} 4 y^{3} + lim_{y \to 2} 8 y}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 4

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $y$ .

${(\frac{4 lim_{y \to 2} y^{3} + lim_{y \to 2} 8 y}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 5

Mueve el exponente $3$ de $y^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

${(\frac{4 {(lim_{y \to 2} y)}^{3} + lim_{y \to 2} 8 y}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 6

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $y$ .

${(\frac{4 {(lim_{y \to 2} y)}^{3} + 8 lim_{y \to 2} y}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $y$ se aproxima a $2$ .

${(\frac{4 {(lim_{y \to 2} y)}^{3} + 8 lim_{y \to 2} y}{lim_{y \to 2} y + lim_{y \to 2} 4})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 8

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $y$ se acerca a $2$ .

${(\frac{4 {(lim_{y \to 2} y)}^{3} + 8 lim_{y \to 2} y}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 9

Evalúa los límites mediante el ingreso de $2$ para todos los casos de $y$ .

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Paso 9.1

Evalúa el límite de $y$ mediante el ingreso de $2$ para $y$ .

${(\frac{4 \cdot 2^{3} + 8 lim_{y \to 2} y}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 9.2

Evalúa el límite de $y$ mediante el ingreso de $2$ para $y$ .

${(\frac{4 \cdot 2^{3} + 8 \cdot 2}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 9.3

Evalúa el límite de $y$ mediante el ingreso de $2$ para $y$ .

${(\frac{4 \cdot 2^{3} + 8 \cdot 2}{2 + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.1

Cancela el factor común de $4 \cdot 2^{3} + 8 \cdot 2$ y $2 + 4$ .

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Paso 10.1.1

Factoriza $2$ de $4 \cdot 2^{3}$ .

${(\frac{2 (2 \cdot 2^{3}) + 8 \cdot 2}{2 + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 10.1.2

Factoriza $2$ de $8 \cdot 2$ .

${(\frac{2 (2 \cdot 2^{3}) + 2 (4 \cdot 2)}{2 + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 10.1.3

Factoriza $2$ de $2 (2 \cdot 2^{3}) + 2 (4 \cdot 2)$ .

${(\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2)}{2 + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 10.1.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.1.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

${(\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2)}{2 (1) + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 10.1.4.2

Factoriza $2$ de $4$ .

${(\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2)}{2 \cdot 1 + 2 \cdot 2})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 10.1.4.3

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1 + 2 \cdot 2$ .

${(\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2)}{2 \cdot (1 + 2)})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 10.1.4.4

Cancela el factor común.

${(\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2)}{2 \cdot (1 + 2)})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 10.1.4.5

Reescribe la expresión.

${(\frac{2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2}{1 + 2})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 10.2

Simplifica el numerador.

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Paso 10.2.1

Multiplica $2$ por $2^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 10.2.1.1

Multiplica $2$ por $2^{3}$ .

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Paso 10.2.1.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

${(\frac{2^{1} \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2}{1 + 2})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 10.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(\frac{2^{1 + 3} + 4 \cdot 2}{1 + 2})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 10.2.1.2

Suma $1$ y $3$ .

${(\frac{2^{4} + 4 \cdot 2}{1 + 2})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 10.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

${(\frac{16 + 4 \cdot 2}{1 + 2})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 10.2.3

Multiplica $4$ por $2$ .

${(\frac{16 + 8}{1 + 2})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 10.2.4

Suma $16$ y $8$ .

${(\frac{24}{1 + 2})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 10.3

Suma $1$ y $2$ .

${(\frac{24}{3})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 10.4

Divide $24$ por $3$ .

$8^{\frac{1}{3}}$

Paso 10.5

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

${(2^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 10.6

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{3 (\frac{1}{3})}$

Paso 10.7

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 10.7.1

Cancela el factor común.

$2^{3 (\frac{1}{3})}$

Paso 10.7.2

Reescribe la expresión.

$2^{1}$

Paso 10.8

Evalúa el exponente.

$2$