Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 \sin (\frac{x}{2}) + 4$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 \sin (\frac{x}{2}) + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 \sin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \sin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 \sin (\frac{x}{2})]$ .

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Paso 1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \sin (\frac{x}{2})$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Paso 1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{2}$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.2.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$3 (\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.2.3

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.2.5

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$3 (\cos (\frac{x}{2}) \frac{1}{2}) + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.2.6

Combina $\cos (\frac{x}{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$3 \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.2.7

Combina $3$ y $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2} + 0$

Paso 1.3.2

Suma $\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2}$ y $0$ .

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{x}{2}))$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2}))$

Paso 2.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $\sin (\frac{x}{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x}{2}$

Paso 2.3.2

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.3.3

Combina fracciones.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} x$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot \frac{d}{d x} x$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

Paso 2.3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{4}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$

Paso 4

Establece el numerador igual a cero.

$3 \cos (\frac{x}{2}) = 0$

Paso 5

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.1

Divide cada término en $3 \cos (\frac{x}{2}) = 0$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.1.1

Divide cada término en $3 \cos (\frac{x}{2}) = 0$ por $3$ .

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 5.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 5.1.2.1.2

Divide $\cos (\frac{x}{2})$ por $1$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{0}{3}$

Paso 5.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1.3.1

Divide $0$ por $3$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 0$

Paso 5.2

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Paso 5.4

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$x = π$

Paso 5.5

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 5.6

Resuelve $x$

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Paso 5.6.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Paso 5.6.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.6.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.6.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Paso 5.6.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Paso 5.6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.6.2.2.1

Simplifica $2 (2 π - \frac{π}{2})$ .

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Paso 5.6.2.2.1.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Paso 5.6.2.2.1.2

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Paso 5.6.2.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 5.6.2.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.6.2.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 5.6.2.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 π \cdot 2 - π$

Paso 5.6.2.2.1.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = 4 π - π$

Paso 5.6.2.2.1.6

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = 3 π$

Paso 5.7

La solución a la ecuación $\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$ .

$x = π, 3 π$

Paso 6

Evalúa la segunda derivada en $x = π$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{3 \sin (\frac{π}{2})}{4}$

Paso 7

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 7.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$- \frac{3 \cdot 1}{4}$

Paso 7.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$- \frac{3}{4}$

Paso 8

$x = π$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = π$ es un máximo local

Paso 9

Obtén el valor de y cuando $x = π$ .

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $π$ en la expresión.

$f (π) = 3 \sin (\frac{π}{2}) + 4$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.1.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (π) = 3 \cdot 1 + 4$

Paso 9.2.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$f (π) = 3 + 4$

Paso 9.2.2

Suma $3$ y $4$ .

$f (π) = 7$

Paso 9.2.3

La respuesta final es $7$ .

$y = 7$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada en $x = 3 π$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{3 \sin (\frac{3 π}{2})}{4}$

Paso 11

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 11.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$- \frac{3 (- \sin (\frac{π}{2}))}{4}$

Paso 11.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$- \frac{3 (- 1 \cdot 1)}{4}$

Paso 11.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{3 \cdot - 1}{4}$

Paso 11.2

Simplifica la expresión.

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Paso 11.2.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- \frac{- 3}{4}$

Paso 11.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{3}{4}$

Paso 11.3

Multiplica $- - \frac{3}{4}$ .

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Paso 11.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{3}{4})$

Paso 11.3.2

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $1$ .

$\frac{3}{4}$

Paso 12

$x = 3 π$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 3 π$ es un mínimo local

Paso 13

Obtén el valor de y cuando $x = 3 π$ .

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Paso 13.1

Reemplaza la variable $x$ con $3 π$ en la expresión.

$f (3 π) = 3 \sin (\frac{3 π}{2}) + 4$

Paso 13.2

Simplifica el resultado.

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Paso 13.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.2.1.1

$f (3 π) = 3 (- \sin (\frac{π}{2})) + 4$

Paso 13.2.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (3 π) = 3 (- 1 \cdot 1) + 4$

Paso 13.2.1.3

Multiplica $3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 13.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (3 π) = 3 \cdot - 1 + 4$

Paso 13.2.1.3.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f (3 π) = - 3 + 4$

Paso 13.2.2

Suma $- 3$ y $4$ .

$f (3 π) = 1$

Paso 13.2.3

La respuesta final es $1$ .

$y = 1$

Paso 14

Estos son los extremos locales de $f (x) = 3 \sin (\frac{x}{2}) + 4$ .

$(π, 7)$ es un máximo local

$(3 π, 1)$ es un mínimo local

Paso 15