Cálculo Ejemplos

$- x y^{2} - 3 + 2 x^{3} = - 3 y^{3}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (- x y^{2} - 3 + 2 x^{3}) = \frac{d}{d x} (- 3 y^{3})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x y^{2} - 3 + 2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x y^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y^{2}$ .

$- (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$- (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$- (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 2.2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 2.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 2.2.6

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$- (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 2.2.7

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 2.3

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 0 + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 0 + 2 (3 x^{2})$

Paso 2.4.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 0 + 6 x^{2}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- (2 x y y') - y^{2} + 0 + 6 x^{2}$

Paso 2.5.2

Combina los términos.

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Paso 2.5.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 (x y y') - y^{2} + 0 + 6 x^{2}$

Paso 2.5.2.2

Suma $- 2 x y y' - y^{2}$ y $0$ .

$- 2 x y y' - y^{2} + 6 x^{2}$

Paso 2.5.3

Reordena los términos.

$6 x^{2} - y^{2} - 2 x y y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 y^{3}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$- 3 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$- 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.3

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$- 9 (y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 9 y^{2} y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$6 x^{2} - y^{2} - 2 x y y' = - 9 y^{2} y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Suma $9 y^{2} y'$ a ambos lados de la ecuación.

$6 x^{2} - y^{2} - 2 x y y' + 9 y^{2} y' = 0$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Resta $6 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- y^{2} - 2 x y y' + 9 y^{2} y' = - 6 x^{2}$

Paso 5.2.2

Suma $y^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 x y y' + 9 y^{2} y' = - 6 x^{2} + y^{2}$

Paso 5.3

Factoriza $y y'$ de $- 2 x y y' + 9 y^{2} y'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $y y'$ de $- 2 x y y'$ .

$y y' (- 2 x) + 9 y^{2} y' = - 6 x^{2} + y^{2}$

Paso 5.3.2

Factoriza $y y'$ de $9 y^{2} y'$ .

$y y' (- 2 x) + y y' (9 y) = - 6 x^{2} + y^{2}$

Paso 5.3.3

Factoriza $y y'$ de $y y' (- 2 x) + y y' (9 y)$ .

$y y' (- 2 x + 9 y) = - 6 x^{2} + y^{2}$

Paso 5.4

Divide cada término en $y y' (- 2 x + 9 y) = - 6 x^{2} + y^{2}$ por $y (- 2 x + 9 y)$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $y y' (- 2 x + 9 y) = - 6 x^{2} + y^{2}$ por $y (- 2 x + 9 y)$ .

$\frac{y y' (- 2 x + 9 y)}{y (- 2 x + 9 y)} = \frac{- 6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y' (- 2 x + 9 y)}{y (- 2 x + 9 y)} = \frac{- 6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (- 2 x + 9 y)}{- 2 x + 9 y} = \frac{- 6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de $- 2 x + 9 y$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- 2 x + 9 y)}{- 2 x + 9 y} = \frac{- 6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Paso 5.4.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Paso 5.4.3.1.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 5.4.3.1.2.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$y' = - \frac{6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y \cdot y}{y (- 2 x + 9 y)}$

Paso 5.4.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.3.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y \cdot y}{y (- 2 x + 9 y)}$

Paso 5.4.3.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y}{- 2 x + 9 y}$

Paso 5.4.3.2

Para escribir $\frac{y}{- 2 x + 9 y}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y}{- 2 x + 9 y} \cdot \frac{y}{y}$

Paso 5.4.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $y (- 2 x + 9 y)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.4.3.3.1

Multiplica $\frac{y}{- 2 x + 9 y}$ por $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y \cdot y}{(- 2 x + 9 y) y}$

Paso 5.4.3.3.2

Reordena los factores de $(- 2 x + 9 y) y$ .

$y' = - \frac{6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y \cdot y}{y (- 2 x + 9 y)}$

Paso 5.4.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 6 x^{2} + y \cdot y}{y (- 2 x + 9 y)}$

Paso 5.4.3.5

Multiplica $y$ por $y$ .

$y' = \frac{- 6 x^{2} + y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Paso 5.4.3.6

Factoriza $- 1$ de $- 6 x^{2}$ .

$y' = \frac{- (6 x^{2}) + y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Paso 5.4.3.7

Factoriza $- 1$ de $y^{2}$ .

$y' = \frac{- (6 x^{2}) - 1 (- y^{2})}{y (- 2 x + 9 y)}$

Paso 5.4.3.8

Factoriza $- 1$ de $- (6 x^{2}) - 1 (- y^{2})$ .

$y' = \frac{- (6 x^{2} - y^{2})}{y (- 2 x + 9 y)}$

Paso 5.4.3.9

Reescribe $- (6 x^{2} - y^{2})$ como $- 1 (6 x^{2} - y^{2})$ .

$y' = \frac{- 1 (6 x^{2} - y^{2})}{y (- 2 x + 9 y)}$

Paso 5.4.3.10

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{- 1 (6 x^{2} - y^{2})}{y (- (2 x) + 9 y)}$

Paso 5.4.3.11

Factoriza $- 1$ de $9 y$ .

$y' = \frac{- 1 (6 x^{2} - y^{2})}{y (- (2 x) - (- 9 y))}$

Paso 5.4.3.12

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - (- 9 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (6 x^{2} - y^{2})}{y (- (2 x - 9 y))}$

Paso 5.4.3.13

Reescribe $- (2 x - 9 y)$ como $- 1 (2 x - 9 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (6 x^{2} - y^{2})}{y (- 1 (2 x - 9 y))}$

Paso 5.4.3.14

Cancela el factor común.

$y' = \frac{- 1 (6 x^{2} - y^{2})}{y (- 1 (2 x - 9 y))}$

Paso 5.4.3.15

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{6 x^{2} - y^{2}}{y (2 x - 9 y)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2} - y^{2}}{y (2 x - 9 y)}$