Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{2} (x^{2} - 1) e^{x^{3} - 3 x + 1} d x$

Paso 1

Sea $u = x^{3} - 3 x + 1$ . Entonces $d u = (3 x^{2} - 3) d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = (x^{2} - 1) d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x^{3} - 3 x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{3} - 3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x + 1]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 3 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$3 x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} - 3 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $3 x^{2} - 3$ y $0$ .

$3 x^{2} - 3$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x^{3} - 3 x + 1$ .

$u_{lower} = 0^{3} - 3 \cdot 0 + 1$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 0 - 3 \cdot 0 + 1$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

Paso 1.3.2

Suma $0$ y $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Paso 1.3.3

Suma $0$ y $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x^{3} - 3 x + 1$ .

$u_{upper} = 2^{3} - 3 \cdot 2 + 1$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$u_{upper} = 8 - 3 \cdot 2 + 1$

Paso 1.5.1.2

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$u_{upper} = 8 - 6 + 1$

Paso 1.5.2

Resta $6$ de $8$ .

$u_{upper} = 2 + 1$

Paso 1.5.3

Suma $2$ y $1$ .

$u_{upper} = 3$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{3} e^{u} \frac{1}{3} d u$

Paso 2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\int_{1}^{3} \frac{e^{u}}{3} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int_{1}^{3} e^{u} d u$

Paso 4

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} e^{u}]_{1}^{3}$

Paso 5

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.1

Evalúa $e^{u}$ en $3$ y en $1$ .

$\frac{1}{3} ((e^{3}) - e^{1})$

Paso 5.2

Simplifica.

$\frac{1}{3} (e^{3} - e)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{3} e^{3} + \frac{1}{3} (- e)$

Paso 6.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $e^{3}$ .

$\frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3} (- e)$

Paso 6.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $e$ .

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{e}{3}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{e}{3}$

Forma decimal:

$5.78908503 \dots$

Paso 8