Cálculo Ejemplos

$2 \csc^{2} (\frac{x}{3})$

Paso 1

Escribe $2 \csc^{2} (\frac{x}{3})$ como una función.

$f (x) = 2 \csc^{2} (\frac{x}{3})$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 2 \csc^{2} (\frac{x}{3}) d x$

Paso 4

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \csc^{2} (\frac{x}{3}) d x$

Paso 5

Sea $u = \frac{x}{3}$ . Entonces $d u = \frac{1}{3} d x$ , de modo que $3 d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = \frac{x}{3}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 5.1.2

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Paso 5.1.4

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3}$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$2 \int \csc^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{3}$ .

$2 \int \csc^{2} (u) (1 \cdot 3) d u$

Paso 6.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$2 \int \csc^{2} (u) \cdot 3 d u$

Paso 6.3

Mueve $3$ a la izquierda de $\csc^{2} (u)$ .

$2 \int 3 \csc^{2} (u) d u$

Paso 7

Dado que $3$ es constante con respecto a $u$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$2 (3 \int \csc^{2} (u) d u)$

Paso 8

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 \int \csc^{2} (u) d u$

Paso 9

Como la derivada de $- \cot (u)$ es $\csc^{2} (u)$ , la integral de $\csc^{2} (u)$ es $- \cot (u)$ .

$6 (- \cot (u) + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Simplifica.

$6 (- \cot (u)) + C$

Paso 10.2

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$- 6 \cot (u) + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{3}$ .

$- 6 \cot (\frac{x}{3}) + C$

Paso 12

Reordena los términos.

$- 6 \cot (\frac{1}{3} x) + C$

Paso 13

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 2 \csc^{2} (\frac{x}{3})$ .

$F (x) =$ $- 6 \cot (\frac{1}{3} x) + C$