Cálculo Ejemplos

$x^{3} e^{x^{2}}$

Paso 1

Escribe $x^{3} e^{x^{2}}$ como una función.

$f (x) = x^{3} e^{x^{2}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int x^{3} e^{x^{2}} d x$

Paso 4

Sea $u = x^{2}$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $u$ .

$\int \frac{u}{2} e^{u} d u$

Paso 5.2

Combina $\frac{u}{2}$ y $e^{u}$ .

$\int \frac{u e^{u}}{2} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int u e^{u} d u$

Paso 7

Integra por partes mediante la fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , donde $w = u$ y $dv = e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Paso 8

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Paso 9

Simplifica.

$\frac{1}{2} (u e^{u} - e^{u}) + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}}) + C$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}}) + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Paso 11.2

Multiplica $\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}})$ .

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Paso 11.2.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} e^{x^{2}} + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Paso 11.2.2

Combina $\frac{x^{2}}{2}$ y $e^{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Paso 11.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} - \frac{e^{x^{2}}}{2} + C$

Paso 12

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

Paso 13

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = x^{3} e^{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$