Cálculo Ejemplos

$\sqrt{3 \cos^{3} (x)}$

Paso 1

Reescribe $\frac{d}{d x} [\sqrt{3 \cos^{3} (x)}]$ como $\frac{d}{d x} [\cos (x) \sqrt{3 \cos (x)}]$ .

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Paso 1.1

Reescribe $3 \cos^{3} (x)$ como $\cos^{2} (x) \cdot (3 \cos (x))$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3 (\cos^{2} (x) \cos (x))}]$

Paso 1.1.2

Reordena $3$ y $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\cos^{2} (x) \cdot 3 \cos (x)}]$

Paso 1.1.3

Agrega paréntesis.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\cos^{2} (x) \cdot (3 \cos (x))}]$

Paso 1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{d}{d x} [\cos (x) \sqrt{3 \cos (x)}]$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 \cos (x)}$ como ${(3 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x) {(3 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3

Factoriza $3$ de $3 \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x) {(3 (\cos (x)))}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4

Aplica la regla del producto a $3 (\cos (x))$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x) (3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}})]$

Paso 5

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} (\cos^{1} (x) {\cos (x)}^{\frac{1}{2}})]$

Paso 6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{1 + \frac{1}{2}}]$

Paso 7

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 7.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Paso 7.2

Simplifica la expresión.

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Paso 7.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Paso 7.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{3}{2}}]$

Paso 7.3

Como $3^{\frac{1}{2}}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{\cos (x)}^{\frac{3}{2}}]$ .

$3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{\cos (x)}^{\frac{3}{2}}]$

Paso 8

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 8.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\cos (x)$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 8.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 9

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 10

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 12

Simplifica el numerador.

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Paso 12.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 12.2

Resta $2$ de $3$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 13

Combina $\frac{3}{2}$ y ${\cos (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 14

Combina $\frac{3 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ y $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 15

Multiplica $3$ por $3^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 15.1

Mueve $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 15.2

Multiplica $3^{\frac{1}{2}}$ por $3$ .

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Paso 15.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{1} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 15.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3^{\frac{1}{2} + 1} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 15.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{3^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 15.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3^{\frac{1 + 2}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 15.5

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 16

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} (- \sin (x))$

Paso 17

Combina $\frac{3^{\frac{3}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ y $\sin (x)$ .

$- \frac{3^{\frac{3}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}} \sin (x)}{2}$