Cálculo Ejemplos

$y = \frac{2 x}{x + 1}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{x + 1})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x}{x + 1}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x + 1$ .

$2 \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Multiplica $x + 1$ por $1$ .

$2 \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.6

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$2 \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.6.3

Resta $x$ de $x$ .

$2 \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.6.4

Suma $0$ y $1$ .

$2 \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.6.5

Combina $2$ y $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$