Cálculo Ejemplos

$y = 5 x (x^{2} + 6)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 x (x^{2} + 6))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x (x^{2} + 6)$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 6)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 6)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{2} + 6$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [x^{2} + 6] + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$5 (x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 (x (2 x + \frac{d}{d x} [6]) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.3

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 (x (2 x + 0) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.4

Suma $2 x$ y $0$ .

$5 (x (2 x) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$5 (2 (x^{1} x) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$5 (2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 (2 x^{1 + 1} + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.7

Suma $1$ y $1$ .

$5 (2 x^{2} + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 (2 x^{2} + (x^{2} + 6) \cdot 1)$

Paso 3.9

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.9.1

Multiplica $x^{2} + 6$ por $1$ .

$5 (2 x^{2} + x^{2} + 6)$

Paso 3.9.2

Suma $2 x^{2}$ y $x^{2}$ .

$5 (3 x^{2} + 6)$

Paso 3.10

Simplifica.

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Paso 3.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (3 x^{2}) + 5 \cdot 6$

Paso 3.10.2

Combina los términos.

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Paso 3.10.2.1

Multiplica $3$ por $5$ .

$15 x^{2} + 5 \cdot 6$

Paso 3.10.2.2

Multiplica $5$ por $6$ .

$15 x^{2} + 30$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 15 x^{2} + 30$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 15 x^{2} + 30$