Cálculo Ejemplos

$- x y - y^{3} = - x$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (- x y - y^{3}) = \frac{d}{d x} (- x)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x y - y^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$- (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 2.2.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$- (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- (x y' + y) - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$- (x y' + y) - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- (x y' + y) - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$- (x y' + y) - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- (x y' + y) - (3 y^{2} y')$

Paso 2.3.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- (x y' + y) - 3 y^{2} y'$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- (x y') - y - 3 y^{2} y'$

Paso 2.4.2

Reordena los términos.

$- x y' - 3 y^{2} y' - y$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- x y' - 3 y^{2} y' - y = - 1$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$- x y' - 3 y^{2} y' = - 1 + y$

Paso 5.2

Factoriza $y'$ de $- x y' - 3 y^{2} y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y'$ de $- x y'$ .

$y' (- x) - 3 y^{2} y' = - 1 + y$

Paso 5.2.2

Factoriza $y'$ de $- 3 y^{2} y'$ .

$y' (- x) + y' (- 3 y^{2}) = - 1 + y$

Paso 5.2.3

Factoriza $y'$ de $y' (- x) + y' (- 3 y^{2})$ .

$y' (- x - 3 y^{2}) = - 1 + y$

Paso 5.3

Divide cada término en $y' (- x - 3 y^{2}) = - 1 + y$ por $- x - 3 y^{2}$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y' (- x - 3 y^{2}) = - 1 + y$ por $- x - 3 y^{2}$ .

$\frac{y' (- x - 3 y^{2})}{- x - 3 y^{2}} = \frac{- 1}{- x - 3 y^{2}} + \frac{y}{- x - 3 y^{2}}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $- x - 3 y^{2}$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- x - 3 y^{2})}{- x - 3 y^{2}} = \frac{- 1}{- x - 3 y^{2}} + \frac{y}{- x - 3 y^{2}}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 1}{- x - 3 y^{2}} + \frac{y}{- x - 3 y^{2}}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 1 + y}{- x - 3 y^{2}}$

Paso 5.3.3.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{- 1 (1) + y}{- x - 3 y^{2}}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $y$ .

$y' = \frac{- 1 (1) - 1 (- y)}{- x - 3 y^{2}}$

Paso 5.3.3.4

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- 1 (1 - y)}{- x - 3 y^{2}}$

Paso 5.3.3.5

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (1 - y)}{- (x) - 3 y^{2}}$

Paso 5.3.3.6

Factoriza $- 1$ de $- 3 y^{2}$ .

$y' = \frac{- 1 (1 - y)}{- (x) - (3 y^{2})}$

Paso 5.3.3.7

Factoriza $- 1$ de $- (x) - (3 y^{2})$ .

$y' = \frac{- 1 (1 - y)}{- (x + 3 y^{2})}$

Paso 5.3.3.8

Reescribe $- (x + 3 y^{2})$ como $- 1 (x + 3 y^{2})$ .

$y' = \frac{- 1 (1 - y)}{- 1 (x + 3 y^{2})}$

Paso 5.3.3.9

Cancela el factor común.

$y' = \frac{- 1 (1 - y)}{- 1 (x + 3 y^{2})}$

Paso 5.3.3.10

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{1 - y}{x + 3 y^{2}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - y}{x + 3 y^{2}}$