Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{9 \tan (x)}{- 3 x}$

Paso 1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1

Cancela el factor común de $9$ y $- 3$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $3$ de $9 \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (3 \tan (x))}{- 3 x}$

Paso 1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.1

Factoriza $3$ de $- 3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (3 \tan (x))}{3 (- x)}$

Paso 1.1.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0} \frac{3 (3 \tan (x))}{3 (- x)}$

Paso 1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0} \frac{3 \tan (x)}{- x}$

Paso 1.2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{- x}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$3 \frac{lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} - x}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$3 \frac{\tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$3 \frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} - x}$

Paso 2.1.2.3

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to 0} - x}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$3 \frac{0}{- lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$3 (\frac{0}{0})$

Paso 2.1.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$3 (\frac{0}{0})$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$3 (\frac{0}{0})$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{- x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 2.3.2

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 2.3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{- \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{- 1 \cdot 1}$

Paso 2.3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{- 1}$

Paso 2.4

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\sec^{2} (x)}{- 1}$ .

$3 lim_{x \to 0} - 1 \cdot \sec^{2} (x)$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$3 \cdot - 1 lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)$

Paso 3.2

Mueve el exponente $2$ de $\sec^{2} (x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$3 \cdot - 1 {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}$

Paso 3.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$3 \cdot - 1 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)$

Paso 4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$3 \cdot - 1 \sec^{2} (0)$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 3 \sec^{2} (0)$

Paso 5.2

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$- 3 \cdot 1^{2}$

Paso 5.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 3 \cdot 1$

Paso 5.4

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$- 3$