Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = x - 1$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 1$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.5.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.6

Combina fracciones.

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Paso 1.6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.6.2

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.6.3

Mueve ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 1.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 1.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0)$

Paso 1.10

Simplifica la expresión.

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Paso 1.10.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

Paso 1.10.2

Multiplica $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ por $1$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1.1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ como ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1})$

Paso 2.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot - 1})$

Paso 2.1.2.2.2

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Paso 2.1.2.2.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{\frac{2 \cdot - 1}{3}})$

Paso 2.1.2.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}})$

Paso 2.1.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- \frac{2}{3}}$ y $g (x) = x - 1$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 1))$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} u^{- \frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Paso 2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Paso 2.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{- 2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Paso 2.6.2

Resta $3$ de $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{- 5}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Paso 2.7

Combina fracciones.

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Paso 2.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{5}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Paso 2.7.2

Combina ${(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}$ y $\frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{{(x - 1)}^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))$

Paso 2.7.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.7.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2 \cdot {(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))$

Paso 2.7.3.2

Mueve ${(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))$

Paso 2.7.4

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 (3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1)$

Paso 2.7.5

Multiplica $3$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1)$

Paso 2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 1))$

Paso 2.10

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (1 + 0)$

Paso 2.11

Simplifica la expresión.

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Paso 2.11.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \cdot 1$

Paso 2.11.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = x - 1$ .

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Paso 4.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 4.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 4.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 1$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 4.1.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 4.1.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 4.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 4.1.5.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 4.1.6

Combina fracciones.

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Paso 4.1.6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 4.1.6.2

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 4.1.6.3

Mueve ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 4.1.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 4.1.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 4.1.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0)$

Paso 4.1.10

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.10.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

Paso 4.1.10.2

Multiplica $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$1 = 0$

Paso 5.3

Como $1 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}}$

Paso 6.2

Establece el denominador en $\frac{1}{3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 6.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${(3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}$ como ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.2.1

Simplifica ${(3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Paso 6.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$27 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$27 {(x - 1)}^{2} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$27 {(x - 1)}^{2} = 0$

Paso 6.3.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.3.1

Divide cada término en $27 {(x - 1)}^{2} = 0$ por $27$ y simplifica.

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Paso 6.3.3.1.1

Divide cada término en $27 {(x - 1)}^{2} = 0$ por $27$ .

$\frac{27 {(x - 1)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Paso 6.3.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.3.1.2.1

Cancela el factor común de $27$ .

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Paso 6.3.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{27 {(x - 1)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Paso 6.3.3.1.2.1.2

Divide ${(x - 1)}^{2}$ por $1$ .

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{27}$

Paso 6.3.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.1.3.1

Divide $0$ por $27$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Paso 6.3.3.2

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 6.3.3.3

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 1$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{2}{9 {((1) - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica la expresión.

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Paso 9.1.1

Resta $1$ de $1$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}$

Paso 9.1.2

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$- \frac{2}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 9.1.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Paso 9.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Paso 9.2.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{5}}$

Paso 9.3

Simplifica la expresión.

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Paso 9.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0}$

Paso 9.3.2

Multiplica $9$ por $0$ .

$- \frac{2}{0}$

Paso 9.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$- \frac{2}{0}$

Paso 9.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 10

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 10.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 10.2

Sustituye cualquier número, como $0$ , del intervalo $(- \infty, 1)$ en la primera derivada $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = \frac{1}{3 {((0) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 10.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.2.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 10.2.2.1.1

Resta $1$ de $0$ .

$f' (0) = \frac{1}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 10.2.2.1.2

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (0) = \frac{1}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 10.2.2.1.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (0) = \frac{1}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Paso 10.2.2.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 10.2.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$f' (0) = \frac{1}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Paso 10.2.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f' (0) = \frac{1}{3 {(- 1)}^{2}}$

Paso 10.2.2.1.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (0) = \frac{1}{3 \cdot 1}$

Paso 10.2.2.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{3}$

Paso 10.2.2.3

La respuesta final es $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Paso 10.3

Sustituye cualquier número, como $4$ , del intervalo $(1, \infty)$ en la primera derivada $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f' (4) = \frac{1}{3 {((4) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 10.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.3.2.1

Resta $1$ de $4$ .

$f' (4) = \frac{1}{3 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}$

Paso 10.3.2.2

Multiplica $3$ por $3^{\frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 10.3.2.2.1

Multiplica $3$ por $3^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 10.3.2.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$f' (4) = \frac{1}{3 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}$

Paso 10.3.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (4) = \frac{1}{3^{1 + \frac{2}{3}}}$

Paso 10.3.2.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f' (4) = \frac{1}{3^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}$

Paso 10.3.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (4) = \frac{1}{3^{\frac{3 + 2}{3}}}$

Paso 10.3.2.2.4

Suma $3$ y $2$ .

$f' (4) = \frac{1}{3^{\frac{5}{3}}}$

Paso 10.3.2.3

La respuesta final es $\frac{1}{3^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{5}{3}}}$

Paso 10.4

Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de $x = 1$ , no es un máximo local ni un mínimo local.

No es un máximo local ni un mínimo local

Paso 10.5

No se obtuvieron máximos ni mínimos locales para $f (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

No hay máximos ni mínimos locales

Paso 11