Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + x^{- 1}}{2 x^{3} + 5}$

Paso 1

Simplifica el argumento de límite.

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Paso 1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + \frac{1}{x}}{2 x^{3} + 5}$

Paso 1.2

Combina los términos.

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Paso 1.2.1

Para escribir $5 x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2} x}{x} + \frac{1}{x}}{2 x^{3} + 5}$

Paso 1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2} x + 1}{x}}{2 x^{3} + 5}$

Paso 2

Simplifica el argumento de límite.

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Paso 2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} x + 1}{x} \cdot \frac{1}{2 x^{3} + 5}$

Paso 2.2

Combina factores.

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Paso 2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 (x^{1} x^{2}) + 1}{x} \cdot \frac{1}{2 x^{3} + 5}$

Paso 2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{1 + 2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{2 x^{3} + 5}$

Paso 2.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{x} \cdot \frac{1}{2 x^{3} + 5}$

Paso 2.2.4

Multiplica $\frac{5 x^{3} + 1}{x}$ por $\frac{1}{2 x^{3} + 5}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{x (2 x^{3} + 5)}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{x (2 x^{3}) + x \cdot 5}$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 x \cdot x^{3} + x \cdot 5}$

Paso 3.3

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 x \cdot x^{3} + 5 \cdot x}$

Paso 3.4

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.1

Mueve $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 (x^{3} x) + 5 \cdot x}$

Paso 3.4.2

Multiplica $x^{3}$ por $x$ .

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Paso 3.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 (x^{3} x^{1}) + 5 \cdot x}$

Paso 3.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 x^{3 + 1} + 5 \cdot x}$

Paso 3.4.3

Suma $3$ y $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 x^{4} + 5 \cdot x}$

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 x^{4} + 5 x}$

Paso 4

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{3}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x^{4}$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $x^{3}$ de $5 x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 5}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}$

Paso 5.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1.2.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 5}{x^{3} x} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}$

Paso 5.1.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 5}{x^{3} x} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}$

Paso 5.1.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $x^{4}$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}$

Paso 5.2.1.2

Divide $2$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{5 x}{x^{4}}}$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{4}$ .

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $x$ de $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{x \cdot 5}{x^{4}}}$

Paso 5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{x \cdot 5}{x \cdot x^{3}}}$

Paso 5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{x \cdot 5}{x \cdot x^{3}}}$

Paso 5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{5}{x^{3}}}$

Paso 5.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{3}}}$

Paso 5.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{3}}}$

Paso 5.5

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{3}}}$

Paso 6

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{3}}}$

Paso 7

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{4}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{3}}}$

Paso 8

Evalúa el límite.

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Paso 8.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}$

Paso 8.2

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}$

Paso 8.3

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{2 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 9

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{3}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{2 + 5 \cdot 0}$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.1

Cancela el factor común de $5 \cdot 0 + 0$ y $2 + 5 \cdot 0$ .

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Paso 10.1.1

Reordena los términos.

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{2 + 0 \cdot 5}$

Paso 10.1.2

Factoriza $2$ de $5 \cdot 0$ .

$\frac{2 (5 \cdot 0) + 0}{2 + 0 \cdot 5}$

Paso 10.1.3

Factoriza $2$ de $0$ .

$\frac{2 (5 \cdot 0) + 2 (0)}{2 + 0 \cdot 5}$

Paso 10.1.4

Factoriza $2$ de $2 (5 \cdot 0) + 2 (0)$ .

$\frac{2 (5 \cdot 0 + 0)}{2 + 0 \cdot 5}$

Paso 10.1.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.1.5.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (5 \cdot 0 + 0)}{2 (1) + 0 \cdot 5}$

Paso 10.1.5.2

Factoriza $2$ de $0 \cdot 5$ .

$\frac{2 (5 \cdot 0 + 0)}{2 (1) + 2 (0 \cdot 5)}$

Paso 10.1.5.3

Factoriza $2$ de $2 (1) + 2 (0 \cdot 5)$ .

$\frac{2 (5 \cdot 0 + 0)}{2 (1 + 0 \cdot 5)}$

Paso 10.1.5.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 (5 \cdot 0 + 0)}{2 (1 + 0 \cdot 5)}$

Paso 10.1.5.5

Reescribe la expresión.

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{1 + 0 \cdot 5}$

Paso 10.2

Simplifica el numerador.

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Paso 10.2.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{1 + 0 \cdot 5}$

Paso 10.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{1 + 0 \cdot 5}$

Paso 10.3

Simplifica el denominador.

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Paso 10.3.1

Multiplica $0$ por $5$ .

$\frac{0}{1 + 0}$

Paso 10.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{0}{1}$

Paso 10.4

Divide $0$ por $1$ .

$0$