Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} - 1}{x} = 2$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{2 x} - 1}{lim_{x \to 0} x} = 2$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x} = 2$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x} = 2$

Paso 1.1.2.1.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x} = 2$

Paso 1.1.2.1.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x} = 2$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{e^{2 \cdot 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x} = 2$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x} = 2$

Paso 1.1.2.3.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x} = 2$

Paso 1.1.2.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x} = 2$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x} = 2$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0} = 2$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{2 x} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

Paso 1.3.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

Paso 1.3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

Paso 1.3.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

Paso 1.3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

Paso 1.3.3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

Paso 1.3.3.5

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

Paso 1.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 0}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

Paso 1.3.5

Suma $2 e^{2 x}$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x}}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

Paso 1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x}}{1} = 2$

Paso 1.4

Divide $2 e^{2 x}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} = 2$

Paso 2

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 lim_{x \to 0} e^{2 x} = 2$

Paso 2.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$2 e^{lim_{x \to 0} 2 x} = 2$

Paso 2.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 e^{2 lim_{x \to 0} x} = 2$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 e^{2 \cdot 0} = 2$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$2 e^{0} = 2$

Paso 4.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$2 \cdot 1 = 2$

Paso 4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 = 2$