Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} x^{6} e^{- x^{7}} d x$

Paso 1

Sea $u_{2} = e^{- x^{7}}$ . Entonces $d u_{2} = - 7 x^{6} e^{- x^{7}} d x$ , de modo que $- \frac{1}{7} d u_{2} = x^{6} e^{- x^{7}} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Deja $u_{2} = e^{- x^{7}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia $e^{- x^{7}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{7}}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x^{7}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- x^{7}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{7}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{7}]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- x^{7}$ .

$e^{- x^{7}} \frac{d}{d x} [- x^{7}]$

Paso 1.1.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{7}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$e^{- x^{7}} (- \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$e^{- x^{7}} (- (7 x^{6}))$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$e^{- x^{7}} (- 7 x^{6})$

Paso 1.1.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.1

Reordena los factores de $e^{- x^{7}} (- 7 x^{6})$ .

$- 7 e^{- x^{7}} x^{6}$

Paso 1.1.4.2

Reordena los factores en $- 7 e^{- x^{7}} x^{6}$ .

$- 7 x^{6} e^{- x^{7}}$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{2} = e^{- x^{7}}$ .

$u_{lower} = e^{- 0^{7}}$

Paso 1.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = e^{- 0}$

Paso 1.3.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Paso 1.3.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{2} = e^{- x^{7}}$ .

$u_{upper} = e^{- 1^{7}}$

Paso 1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = e^{- 1 \cdot 1}$

Paso 1.5.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$u_{upper} = e^{- 1}$

Paso 1.5.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{e}$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{e}$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{\frac{1}{e}} \frac{1}{- 7} d u_{2}$

Paso 2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{1}^{\frac{1}{e}} - \frac{1}{7} d u_{2}$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$- \frac{1}{7} u_{2}]_{1}^{\frac{1}{e}}$

Paso 4

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Evalúa $- \frac{1}{7} u_{2}$ en $\frac{1}{e}$ y en $1$ .

$(- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{e}) + \frac{1}{7} \cdot 1$

Paso 4.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Multiplica $\frac{1}{e}$ por $\frac{1}{7}$ .

$- \frac{1}{e \cdot 7} + \frac{1}{7} \cdot 1$

Paso 4.2.2

Mueve $7$ a la izquierda de $e$ .

$- \frac{1}{7 \cdot e} + \frac{1}{7} \cdot 1$

Paso 4.2.3

Multiplica $\frac{1}{7}$ por $1$ .

$- \frac{1}{7 e} + \frac{1}{7}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{7 e} + \frac{1}{7}$

Forma decimal:

$0.09030293 \dots$

Paso 6