Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 36 x$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 36 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- \frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{3}{2} x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 x^{2} - \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 (\frac{3}{2}) x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Paso 1.1.2.4

Combina $- 2$ y $\frac{3}{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Paso 1.1.2.5

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$3 x^{2} + \frac{- 6}{2} x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Paso 1.1.2.6

Combina $\frac{- 6}{2}$ y $x$ .

$3 x^{2} + \frac{- 6 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Paso 1.1.2.7

Cancela el factor común de $- 6$ y $2$ .

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Paso 1.1.2.7.1

Factoriza $2$ de $- 6 x$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Paso 1.1.2.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.7.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Paso 1.1.2.7.2.2

Cancela el factor común.

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Paso 1.1.2.7.2.3

Reescribe la expresión.

$3 x^{2} + \frac{- 3 x}{1} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Paso 1.1.2.7.2.4

Divide $- 3 x$ por $1$ .

$3 x^{2} - 3 x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 36 x$ con respecto a $x$ es $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 3 x - 36 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} - 3 x - 36 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 36$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 x - 36$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 3 x - 36$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 36]$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$6 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 36]$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.2.4.1

Como $- 36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 36$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 x - 3 + 0$

Paso 1.2.4.2

Suma $6 x - 3$ y $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 3$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $6 x - 3$ .

$6 x - 3$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $6 x - 3 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$6 x - 3 = 0$

Paso 2.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$6 x = 3$

Paso 2.3

Divide cada término en $6 x = 3$ por $6$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $6 x = 3$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{3}{6}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x}{6} = \frac{3}{6}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{6}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Cancela el factor común de $3$ y $6$ .

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Paso 2.3.3.1.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$x = \frac{3 (1)}{6}$

Paso 2.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$x = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Paso 2.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Paso 2.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{1}{2}$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $\frac{1}{2}$ en $f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 36 x$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{1}{2}) = {(\frac{1}{2})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} - 36 (\frac{1}{2})$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1^{3}}{2^{3}} - \frac{3}{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} - 36 (\frac{1}{2})$

Paso 3.1.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2^{3}} - \frac{3}{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} - 36 (\frac{1}{2})$

Paso 3.1.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{3}{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} - 36 (\frac{1}{2})$

Paso 3.1.2.1.4

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1^{2}}{2^{2}} - 36 (\frac{1}{2})$

Paso 3.1.2.1.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2^{2}} - 36 (\frac{1}{2})$

Paso 3.1.2.1.6

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4} - 36 (\frac{1}{2})$

Paso 3.1.2.1.7

Multiplica $- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Paso 3.1.2.1.7.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{3}{4 \cdot 2} - 36 (\frac{1}{2})$

Paso 3.1.2.1.7.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{3}{8} - 36 (\frac{1}{2})$

Paso 3.1.2.1.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.2.1.8.1

Factoriza $2$ de $- 36$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{3}{8} + 2 (- 18) (\frac{1}{2})$

Paso 3.1.2.1.8.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{3}{8} + 2 \cdot (- 18 (\frac{1}{2}))$

Paso 3.1.2.1.8.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{3}{8} - 18$

Paso 3.1.2.2

Combina fracciones.

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Paso 3.1.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{1}{2}) = - 18 + \frac{1 - 3}{8}$

Paso 3.1.2.2.2

Resta $3$ de $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 18 + \frac{- 2}{8}$

Paso 3.1.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.3.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $8$ .

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Paso 3.1.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 18 + \frac{2 (- 1)}{8}$

Paso 3.1.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 18 + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4}$

Paso 3.1.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{1}{2}) = - 18 + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4}$

Paso 3.1.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1}{2}) = - 18 + \frac{- 1}{4}$

Paso 3.1.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{1}{2}) = - 18 - \frac{1}{4}$

Paso 3.1.2.4

Para escribir $- 18$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 18 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Paso 3.1.2.5

Combina $- 18$ y $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 18 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}$

Paso 3.1.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 18 \cdot 4 - 1}{4}$

Paso 3.1.2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.2.7.1

Multiplica $- 18$ por $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 72 - 1}{4}$

Paso 3.1.2.7.2

Resta $1$ de $- 72$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 73}{4}$

Paso 3.1.2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{73}{4}$

Paso 3.1.2.9

La respuesta final es $- \frac{73}{4}$ .

$- \frac{73}{4}$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\frac{1}{2}$ en $f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 36 x$ es $(\frac{1}{2}, - \frac{73}{4})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\frac{1}{2}, - \frac{73}{4})$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, \frac{1}{2})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.4$ en la expresión.

$f'' (0.4) = 6 (0.4) - 3$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Multiplica $6$ por $0.4$ .

$f'' (0.4) = 2.4 - 3$

Paso 5.2.2

Resta $3$ de $2.4$ .

$f'' (0.4) = - 0.6$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 0.6$ .

$- 0.6$

Paso 5.3

En $0.4$ , la segunda derivada es $- 0.6$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, \frac{1}{2})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, \frac{1}{2})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{1}{2}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.6$ en la expresión.

$f'' (0.6) = 6 (0.6) - 3$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $6$ por $0.6$ .

$f'' (0.6) = 3.6 - 3$

Paso 6.2.2

Resta $3$ de $3.6$ .

$f'' (0.6) = 0.6$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $0.6$ .

$0.6$

Paso 6.3

En $0.6$ , la segunda derivada es $0.6$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(\frac{1}{2}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{1}{2}, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(\frac{1}{2}, - \frac{73}{4})$ .

$(\frac{1}{2}, - \frac{73}{4})$

Paso 8