Cálculo Ejemplos

$y = {(x - \frac{1}{x})}^{2}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x - \frac{1}{x}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{x}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{x}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - \frac{1}{x}$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{x}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - \frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}])$

Paso 3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 4.3

Multiplica.

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 4.3.2

Multiplica $x^{- 2}$ por $1$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 4.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0)$

Paso 4.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.5.1

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $0$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + 0)$

Paso 4.5.2

Suma $1 + x^{- 2}$ y $0$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2})$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 x + 2 (- \frac{1}{x})) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

Paso 5.3

Combina los términos.

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Paso 5.3.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$(2 x - 2 \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

Paso 5.3.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x}$ .

$(2 x + \frac{- 2}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

Paso 5.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$(2 x - \frac{2}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

Paso 5.4

Reordena los factores de $(2 x - \frac{2}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$ .

$(1 + \frac{1}{x^{2}}) (2 x - \frac{2}{x})$

Paso 5.5

Expande $(1 + \frac{1}{x^{2}}) (2 x - \frac{2}{x})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 (2 x - \frac{2}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (2 x - \frac{2}{x})$

Paso 5.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 (2 x) + 1 (- \frac{2}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (2 x - \frac{2}{x})$

Paso 5.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 (2 x) + 1 (- \frac{2}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (2 x) + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

Paso 5.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.1.1

Multiplica $2 x$ por $1$ .

$2 x + 1 (- \frac{2}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (2 x) + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

Paso 5.6.1.2

Multiplica $- \frac{2}{x}$ por $1$ .

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} (2 x) + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

Paso 5.6.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x - \frac{2}{x} + 2 \frac{1}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

Paso 5.6.1.4

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

Paso 5.6.1.5

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.6.1.5.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x \cdot x} x + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

Paso 5.6.1.5.2

Cancela el factor común.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x \cdot x} x + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

Paso 5.6.1.5.3

Reescribe la expresión.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

Paso 5.6.1.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

Paso 5.6.1.7

Multiplica $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$ .

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Paso 5.6.1.7.1

Multiplica $\frac{2}{x}$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x \cdot x^{2}}$

Paso 5.6.1.7.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.6.1.7.2.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 5.6.1.7.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x^{1} x^{2}}$

Paso 5.6.1.7.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x^{1 + 2}}$

Paso 5.6.1.7.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x^{3}}$

Paso 5.6.2

Suma $- \frac{2}{x}$ y $\frac{2}{x}$ .

$2 x + 0 - \frac{2}{x^{3}}$

Paso 5.6.3

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x - \frac{2}{x^{3}}$