Cálculo Ejemplos

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} (3 \tan (x) \sec (x) + 2 \cos (x)) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 3 \tan (x) \sec (x) + 2 \cos (x) d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 3 \tan (x) \sec (x) d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 2 \cos (x) d x$

Paso 3

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \tan (x) \sec (x) d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 2 \cos (x) d x$

Paso 4

Como la derivada de $\sec (x)$ es $\tan (x) \sec (x)$ , la integral de $\tan (x) \sec (x)$ es $\sec (x)$ .

$3 (\sec (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}) + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 2 \cos (x) d x$

Paso 5

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$3 (\sec (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}) + 2 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) d x$

Paso 6

La integral de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $\sin (x)$ .

$3 (\sec (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}) + 2 (\sin (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}})$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1.1

Evalúa $\sec (x)$ en $\frac{π}{3}$ y en $\frac{π}{4}$ .

$3 ((\sec (\frac{π}{3})) - \sec (\frac{π}{4})) + 2 (\sin (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}})$

Paso 7.1.2

Evalúa $\sin (x)$ en $\frac{π}{3}$ y en $\frac{π}{4}$ .

$3 (\sec (\frac{π}{3}) - \sec (\frac{π}{4})) + 2 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}))$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{3})$ es $2$ .

$3 (2 - \sec (\frac{π}{4})) + 2 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}))$

Paso 7.2.2

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{4})$ es $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$3 (2 - \frac{2}{\sqrt{2}}) + 2 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}))$

Paso 7.2.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$3 (2 - \frac{2}{\sqrt{2}}) + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (\frac{π}{4}))$

Paso 7.2.4

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 (2 - \frac{2}{\sqrt{2}}) + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \cdot 2 + 3 (- \frac{2}{\sqrt{2}}) + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 7.3.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 + 3 (- \frac{2}{\sqrt{2}}) + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 7.3.3

Multiplica $3 (- \frac{2}{\sqrt{2}})$ .

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Paso 7.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$6 - 3 \frac{2}{\sqrt{2}} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 7.3.3.2

Combina $- 3$ y $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$6 + \frac{- 3 \cdot 2}{\sqrt{2}} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 7.3.3.3

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 7.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 7.3.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.5.1

Cancela el factor común.

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 7.3.5.2

Reescribe la expresión.

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 7.3.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ al numerador.

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Paso 7.3.6.2

Cancela el factor común.

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Paso 7.3.6.3

Reescribe la expresión.

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Paso 7.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$6 - \frac{6}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Paso 7.4

Simplifica.

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Paso 7.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.4.1.1

Multiplica $\frac{6}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$6 - (\frac{6}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Paso 7.4.1.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 7.4.1.2.1

Multiplica $\frac{6}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Paso 7.4.1.2.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Paso 7.4.1.2.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Paso 7.4.1.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Paso 7.4.1.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Paso 7.4.1.2.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 7.4.1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Paso 7.4.1.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Paso 7.4.1.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Paso 7.4.1.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.4.1.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Paso 7.4.1.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{1}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Paso 7.4.1.2.6.5

Evalúa el exponente.

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Paso 7.4.1.3

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 7.4.1.3.1

Factoriza $2$ de $6 \sqrt{2}$ .

$6 - \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Paso 7.4.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.4.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$6 - \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 (1)} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Paso 7.4.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$6 - \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 \cdot 1} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Paso 7.4.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$6 - \frac{3 \sqrt{2}}{1} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Paso 7.4.1.3.2.4

Divide $3 \sqrt{2}$ por $1$ .

$6 - (3 \sqrt{2}) + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Paso 7.4.1.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$6 - 3 \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Paso 7.4.2

Resta $\sqrt{2}$ de $- 3 \sqrt{2}$ .

$6 - 4 \sqrt{2} + \sqrt{3}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$6 - 4 \sqrt{2} + \sqrt{3}$

Forma decimal:

$2.07519655 \dots$