Cálculo Ejemplos

$\int \frac{2 e^{x} - 2 e^{- x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

Paso 1

Factoriza $2$ de $2 e^{x} - 2 e^{- x}$ .

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Paso 1.1

Factoriza $2$ de $2 e^{x}$ .

$\int \frac{2 (e^{x}) - 2 e^{- x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

Paso 1.2

Factoriza $2$ de $- 2 e^{- x}$ .

$\int \frac{2 (e^{x}) + 2 (- e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

Paso 1.3

Factoriza $2$ de $2 (e^{x}) + 2 (- e^{- x})$ .

$\int \frac{2 (e^{x} - e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

Paso 2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{e^{x} - e^{- x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

Paso 3

Sea $u_{2} = e^{x} + e^{- x}$ . Entonces $d u_{2} = (e^{x} - e^{- x}) d x$ , de modo que $\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 3.1

Deja $u_{2} = e^{x} + e^{- x}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $e^{x} + e^{- x}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} + e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 3.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Paso 3.1.4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 3.1.4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- x$ .

$e^{x} + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 3.1.4.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{x} + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 3.1.4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- x$ .

$e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 3.1.4.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.1.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Paso 3.1.4.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

Paso 3.1.4.5

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

Paso 3.1.4.6

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$e^{x} - e^{- x}$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Mueve ${u_{2}}^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$2 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Paso 4.2

Multiplica los exponentes en ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Paso 4.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{- 2}$ con respecto a $u_{2}$ es $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reescribe $2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$ como $2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$ .

$2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \frac{1}{u_{2}} + C$

Paso 6.2.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{- 2}{u_{2}} + C$

Paso 6.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{u_{2}} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $e^{x} + e^{- x}$ .

$- \frac{2}{e^{x} + e^{- x}} + C$