Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{k} (2 k x - x^{2}) d x = 18$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{0}^{k} 2 k x - x^{2} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{k} 2 k x d x + \int_{0}^{k} - x^{2} d x$

Paso 3

Dado que $2 k$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2 k$ fuera de la integral.

$2 k \int_{0}^{k} x d x + \int_{0}^{k} - x^{2} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 k \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{k} + \int_{0}^{k} - x^{2} d x$

Paso 5

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$2 k \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{k} + \int_{0}^{k} - x^{2} d x$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 k \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{k} - \int_{0}^{k} x^{2} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 k \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{k} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{k})$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$2 k \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{k} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{k})$

Paso 8.2

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $k$ y en $0$ .

$2 k ((\frac{k^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{k})$

Paso 8.2.2

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $k$ y en $0$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{0}{2}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.3.2

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{0}{1}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.3.2.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - 0) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.3.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} + 0) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.3.4

Suma $\frac{k^{2}}{2}$ y $0$ .

$2 k \frac{k^{2}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.3.5

Combina $2$ y $\frac{k^{2}}{2}$ .

$k \frac{2 k^{2}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.3.6

Combina $k$ y $\frac{2 k^{2}}{2}$ .

$\frac{k (2 k^{2})}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.3.7

Eleva $k$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (k^{1} k^{2})}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 k^{1 + 2}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.3.9

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 k^{3}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.3.10

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.3.10.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 k^{3}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.3.10.2

Divide $k^{3}$ por $1$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.3.11

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0}{3})$

Paso 8.2.3.12

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.3.12.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Paso 8.2.3.12.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.3.12.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Paso 8.2.3.12.2.2

Cancela el factor común.

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Paso 8.2.3.12.2.3

Reescribe la expresión.

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0}{1})$

Paso 8.2.3.12.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - 0)$

Paso 8.2.3.13

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} + 0)$

Paso 8.2.3.14

Suma $\frac{k^{3}}{3}$ y $0$ .

$k^{3} - \frac{k^{3}}{3}$

Paso 8.2.3.15

Para escribir $k^{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$k^{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{k^{3}}{3}$

Paso 8.2.3.16

Combina $k^{3}$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{k^{3} \cdot 3}{3} - \frac{k^{3}}{3}$

Paso 8.2.3.17

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{k^{3} \cdot 3 - k^{3}}{3}$

Paso 8.2.3.18

Mueve $3$ a la izquierda de $k^{3}$ .

$\frac{3 \cdot k^{3} - k^{3}}{3}$

Paso 8.2.3.19

Resta $k^{3}$ de $3 k^{3}$ .

$\frac{2 k^{3}}{3}$

Paso 8.3

Reordena los términos.

$\frac{2}{3} k^{3}$

Paso 9

Combina $\frac{2}{3}$ y $k^{3}$ .

$\frac{2 k^{3}}{3}$