Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Paso 1

Sea $u = 4 - 4 x^{2}$ . Entonces $d u = - 8 x d x$ , de modo que $- \frac{1}{8} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 4 - 4 x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $4 - 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 - 4 x^{2}]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - 4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Paso 1.1.2.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - 4 (2 x)$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$0 - 8 x$

Paso 1.1.4

Resta $8 x$ de $0$ .

$- 8 x$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 4 - 4 x^{2}$ .

$u_{lower} = 4 - 4 \cdot 0^{2}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 4 - 4 \cdot 0$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$u_{lower} = 4 + 0$

Paso 1.3.2

Suma $4$ y $0$ .

$u_{lower} = 4$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 4 - 4 x^{2}$ .

$u_{upper} = 4 - 4 \cdot 1^{2}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = 4 - 4 \cdot 1$

Paso 1.5.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u_{upper} = 4 - 4$

Paso 1.5.2

Resta $4$ de $4$ .

$u_{upper} = 0$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 0$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{4}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 8} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{4}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{8}) d u$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{8}$ .

$\int_{4}^{0} - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 8} d u$

Paso 2.3

Mueve $8$ a la izquierda de $\sqrt{u}$ .

$\int_{4}^{0} - \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{4}^{0} \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{8}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{8} \int_{4}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Paso 5

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 5.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 5.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 5.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 5.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 5.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{8} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{4}^{0}$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $2 u^{\frac{1}{2}}$ en $0$ y en $4$ .

$- \frac{1}{8} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$- \frac{1}{8} (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{8} (2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.3.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{8} (2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.2.3.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{8} (2 \cdot 0^{1} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.2.4

Evalúa el exponente.

$- \frac{1}{8} (2 \cdot 0 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.2.5

Multiplica $2$ por $0$ .

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.2.6

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.2.7

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Paso 7.2.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.8.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Paso 7.2.8.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 2^{1})$

Paso 7.2.9

Evalúa el exponente.

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 2)$

Paso 7.2.10

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$- \frac{1}{8} (0 - 4)$

Paso 7.2.11

Resta $4$ de $0$ .

$- \frac{1}{8} \cdot - 4$

Paso 7.2.12

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$4 (\frac{1}{8})$

Paso 7.2.13

Combina $4$ y $\frac{1}{8}$ .

$\frac{4}{8}$

Paso 7.2.14

Cancela el factor común de $4$ y $8$ .

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Paso 7.2.14.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 (1)}{8}$

Paso 7.2.14.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.14.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Paso 7.2.14.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Paso 7.2.14.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$

Paso 9