Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} x^{3} e^{- x^{4}} d x$

Paso 1

Sea $u_{1} = x^{2}$ . Entonces $d u_{1} = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Deja $u_{1} = x^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Paso 1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{upper} = 1^{2}$

Paso 1.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = 1$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ , $d u_{1}$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Reescribe ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ como ${u_{1}}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.1.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.1.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $u_{1}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{u_{1}}{2} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Paso 2.3

Combina $\frac{u_{1}}{2}$ y $e^{- {u_{1}}^{2}}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Paso 4

Sea $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . Entonces $d u_{2} = - 2 u_{1} d u_{1}$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Deja $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Diferencia $- {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

Paso 4.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $- {u_{1}}^{2}$ con respecto a $u_{1}$ es $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- (2 u_{1})$

Paso 4.1.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 u_{1}$

Paso 4.2

Sustituye el límite inferior por $u_{1}$ en $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ .

$u_{lower} = - 0^{2}$

Paso 4.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = - 0$

Paso 4.3.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 4.4

Sustituye el límite superior por $u_{1}$ en $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ .

$u_{upper} = - 1^{2}$

Paso 4.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Paso 4.5.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Paso 4.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

Paso 4.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Paso 5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Paso 5.2

Combina $e^{u_{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (- \int_{0}^{- 1} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} d u_{2}))$

Paso 8

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 8.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{1}{4} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 9

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{4} e^{u_{2}}]_{0}^{- 1}$

Paso 10

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Evalúa $e^{u_{2}}$ en $- 1$ y en $0$ .

$- \frac{1}{4} ((e^{- 1}) - e^{0})$

Paso 10.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- \frac{1}{4} (e^{- 1} - 1 \cdot 1)$

Paso 10.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{4} (e^{- 1} - 1)$

Paso 11

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{e} - 1)$

Paso 11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{e} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

Paso 11.3

Multiplica $\frac{1}{e}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{e \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

Paso 11.4

Multiplica $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{e \cdot 4} + 1 (\frac{1}{4})$

Paso 11.4.2

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$- \frac{1}{e \cdot 4} + \frac{1}{4}$

Paso 11.5

Mueve $4$ a la izquierda de $e$ .

$- \frac{1}{4 e} + \frac{1}{4}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{4 e} + \frac{1}{4}$

Forma decimal:

$0.15803013 \dots$

Paso 13