Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - 4} \frac{3 {(x + 1)}^{2} - 27}{x + 4}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to - 4} 3 {(x + 1)}^{2} - 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 4$ .

$\frac{lim_{x \to - 4} 3 {(x + 1)}^{2} - lim_{x \to - 4} 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to - 4} {(x + 1)}^{2} - lim_{x \to - 4} 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Paso 1.1.2.1.3

Mueve el exponente $2$ de ${(x + 1)}^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{3 {(lim_{x \to - 4} x + 1)}^{2} - lim_{x \to - 4} 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Paso 1.1.2.1.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 4$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 1)}^{2} - lim_{x \to - 4} 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Paso 1.1.2.1.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 4$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to - 4} x + 1)}^{2} - lim_{x \to - 4} 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Paso 1.1.2.1.6

Evalúa el límite de $27$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 4$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to - 4} x + 1)}^{2} - 1 \cdot 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 4$ para $x$ .

$\frac{3 {(- 4 + 1)}^{2} - 1 \cdot 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Suma $- 4$ y $1$ .

$\frac{3 {(- 3)}^{2} - 1 \cdot 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{3 \cdot 9 - 1 \cdot 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Multiplica $3$ por $9$ .

$\frac{27 - 1 \cdot 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Paso 1.1.2.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $27$ .

$\frac{27 - 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $27$ de $27$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 4}$

Paso 1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 4$ para $x$ .

$\frac{0}{- 4 + 4}$

Paso 1.1.3.3

Suma $- 4$ y $4$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to - 4} \frac{3 {(x + 1)}^{2} - 27}{x + 4} = lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 {(x + 1)}^{2} - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 {(x + 1)}^{2} - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Paso 1.3.2

Reescribe ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 ((x + 1) (x + 1)) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Paso 1.3.3

Expande $(x + 1) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x (x + 1) + 1 (x + 1)) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Paso 1.3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Paso 1.3.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Paso 1.3.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Paso 1.3.4.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Paso 1.3.4.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Paso 1.3.4.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + x + x + 1) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Paso 1.3.4.2

Suma $x$ y $x$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + 2 x + 1) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Paso 1.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $3 (x^{2} + 2 x + 1) - 27$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + 2 x + 1)] + \frac{d}{d x} [- 27]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + 2 x + 1)] + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Paso 1.3.6

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + 2 x + 1)]$ .

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Paso 1.3.6.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 (x^{2} + 2 x + 1)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{3 \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1] + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Paso 1.3.6.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Paso 1.3.6.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Paso 1.3.6.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Paso 1.3.6.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Paso 1.3.6.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (2 x + 2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Paso 1.3.6.7

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (2 x + 2 + 0) + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Paso 1.3.6.8

Suma $2 x + 2$ y $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (2 x + 2) + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Paso 1.3.7

Como $- 27$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 27$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (2 x + 2) + 0}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Paso 1.3.8

Simplifica.

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Paso 1.3.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (2 x) + 3 \cdot 2 + 0}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Paso 1.3.8.2

Combina los términos.

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Paso 1.3.8.2.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{6 x + 3 \cdot 2 + 0}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Paso 1.3.8.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{6 x + 6 + 0}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Paso 1.3.8.2.3

Suma $6 x + 6$ y $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{6 x + 6}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Paso 1.3.9

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{6 x + 6}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}$

Paso 1.3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{6 x + 6}{1 + \frac{d}{d x} [4]}$

Paso 1.3.11

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{6 x + 6}{1 + 0}$

Paso 1.3.12

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{6 x + 6}{1}$

Paso 1.4

Divide $6 x + 6$ por $1$ .

$lim_{x \to - 4} 6 x + 6$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 4$ .

$lim_{x \to - 4} 6 x + lim_{x \to - 4} 6$

Paso 2.2

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$6 lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 6$

Paso 2.3

Evalúa el límite de $6$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 4$ .

$6 lim_{x \to - 4} x + 6$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 4$ para $x$ .

$6 \cdot - 4 + 6$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Multiplica $6$ por $- 4$ .

$- 24 + 6$

Paso 4.2

Suma $- 24$ y $6$ .

$- 18$