Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{2}}{2 y} + \frac{3 y^{2}}{x}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{2}}{2 y} + \frac{3 y^{2}}{x}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y}] + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y}] + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y}]$ .

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Paso 2.1

Como $\frac{x^{2}}{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{x^{2}}{2 y}$ con respecto a $y$ es $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{1}{y}$ como $y^{- 1}$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Paso 2.4

Combina $\frac{x^{2}}{2}$ y $y^{- 2}$ .

$- \frac{x^{2} y^{- 2}}{2} + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Paso 2.5

Mueve $y^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$ .

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Paso 3.1

Como $\frac{3}{x}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{3 y^{2}}{x}$ con respecto a $y$ es $\frac{3}{x} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{3}{x} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{3}{x} (2 y)$

Paso 3.3

Combina $2$ y $\frac{3}{x}$ .

$- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{2 \cdot 3}{x} y$

Paso 3.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{6}{x} y$

Paso 3.5

Combina $\frac{6}{x}$ y $y$ .

$- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{6 y}{x}$

Paso 4

Reordena los términos.

$\frac{6 y}{x} - \frac{x^{2}}{2 y^{2}}$