Cálculo Ejemplos

$\int 2 x^{2} (2 x + 1) (x - 3) d x$

Paso 1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int (x^{2} (2 x + 1)) (x - 3) d x$

Paso 2

Sea $u_{1} = x - 3$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{1} = x - 3$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 2.1.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$2 \int {(u_{1} + 3)}^{2} (2 (u_{1} + 3) + 1) u_{1} d u_{1}$

Paso 3

Sea $u_{2} = u_{1} + 3$ . Entonces $d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 3.1

Deja $u_{2} = u_{1} + 3$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $u_{1} + 3$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 3]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $u_{1} + 3$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Paso 3.1.4

Como $3$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $3$ con respecto a $u_{1}$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 3.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$2 \int {u_{2}}^{2} (2 u_{2} + 1) (u_{2} - 3) d u_{2}$

Paso 4

Sea $u_{3} = u_{2} - 3$ . Entonces $d u_{3} = d u_{2}$ . Reescribe mediante $u_{3}$ y $d$ $u_{3}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{3} = u_{2} - 3$ . Obtén $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $u_{2} - 3$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2} - 3]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $u_{2} - 3$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 3]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 3]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{2}} [- 3]$

Paso 4.1.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $u_{2}$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $u_{2}$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 4.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u_{3}$ y $d u_{3}$ .

$2 \int {(u_{3} + 3)}^{2} (2 (u_{3} + 3) + 1) u_{3} d u_{3}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe ${(u_{3} + 3)}^{2}$ como $(u_{3} + 3) (u_{3} + 3)$ .

$2 \int (u_{3} + 3) (u_{3} + 3) (2 (u_{3} + 3) + 1) u_{3} d u_{3}$

Paso 5.2