Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$

Paso 1

Escribe $\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ como una función.

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

Paso 5

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

Paso 5.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

Paso 5.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 5.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

Paso 5.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

Paso 5.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C + \int - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - \int \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

Paso 8

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - (2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x)$

Paso 9

Simplifica la expresión.

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Paso 9.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Paso 9.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Paso 9.3

Mueve $x^{\frac{1}{3}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Paso 9.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 9.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 \int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Paso 9.4.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 \int x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Paso 9.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Simplifica.

$2 x^{\frac{1}{2}} - 2 (\frac{3}{2}) x^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 11.2

Simplifica.

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Paso 11.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{3}{2}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 11.2.2

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 6}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 11.2.3

Cancela el factor común de $- 6$ y $2$ .

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Paso 11.2.3.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 11.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} x^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 11.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} x^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 11.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{1} x^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 11.2.3.2.4

Divide $- 3$ por $1$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 12

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ .

$F (x) =$ $2 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{2}{3}} + C$