Cálculo Ejemplos

$3 y^{3} + 4 x^{3} + 5 y^{2} + 5 y + 2 x = 0$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (3 y^{3} + 4 x^{3} + 5 y^{2} + 5 y + 2 x) = \frac{d}{d x} (0)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 y^{3} + 4 x^{3} + 5 y^{2} + 5 y + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 y^{3}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.2.4

Multiplica $3$ por $3$ .

$9 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$9 y^{2} y' + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$9 y^{2} y' + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.3.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$9 y^{2} y' + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 y^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$9 y^{2} y' + 12 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$9 y^{2} y' + 12 x^{2} + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$9 y^{2} y' + 12 x^{2} + 5 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$9 y^{2} y' + 12 x^{2} + 5 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.4.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$9 y^{2} y' + 12 x^{2} + 5 (2 y y') + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.4.4

Multiplica $2$ por $5$ .

$9 y^{2} y' + 12 x^{2} + 10 y y' + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 y]$ .

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Paso 2.5.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 y$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$9 y^{2} y' + 12 x^{2} + 10 y y' + 5 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.5.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$9 y^{2} y' + 12 x^{2} + 10 y y' + 5 y' + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.6

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 2.6.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 y^{2} y' + 12 x^{2} + 10 y y' + 5 y' + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$9 y^{2} y' + 12 x^{2} + 10 y y' + 5 y' + 2 \cdot 1$

Paso 2.6.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$9 y^{2} y' + 12 x^{2} + 10 y y' + 5 y' + 2$

Paso 2.7

Reordena los términos.

$12 x^{2} + 9 y^{2} y' + 10 y y' + 5 y' + 2$

Paso 3

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$12 x^{2} + 9 y^{2} y' + 10 y y' + 5 y' + 2 = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $12 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$9 y^{2} y' + 10 y y' + 5 y' + 2 = - 12 x^{2}$

Paso 5.1.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$9 y^{2} y' + 10 y y' + 5 y' = - 12 x^{2} - 2$

Paso 5.2

Factoriza $y'$ de $9 y^{2} y' + 10 y y' + 5 y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y'$ de $9 y^{2} y'$ .

$y' (9 y^{2}) + 10 y y' + 5 y' = - 12 x^{2} - 2$

Paso 5.2.2

Factoriza $y'$ de $10 y y'$ .

$y' (9 y^{2}) + y' (10 y) + 5 y' = - 12 x^{2} - 2$

Paso 5.2.3

Factoriza $y'$ de $5 y'$ .

$y' (9 y^{2}) + y' (10 y) + y' \cdot 5 = - 12 x^{2} - 2$

Paso 5.2.4

Factoriza $y'$ de $y' (9 y^{2}) + y' (10 y)$ .

$y' (9 y^{2} + 10 y) + y' \cdot 5 = - 12 x^{2} - 2$

Paso 5.2.5

Factoriza $y'$ de $y' (9 y^{2} + 10 y) + y' \cdot 5$ .

$y' (9 y^{2} + 10 y + 5) = - 12 x^{2} - 2$

Paso 5.3

Divide cada término en $y' (9 y^{2} + 10 y + 5) = - 12 x^{2} - 2$ por $9 y^{2} + 10 y + 5$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y' (9 y^{2} + 10 y + 5) = - 12 x^{2} - 2$ por $9 y^{2} + 10 y + 5$ .

$\frac{y' (9 y^{2} + 10 y + 5)}{9 y^{2} + 10 y + 5} = \frac{- 12 x^{2}}{9 y^{2} + 10 y + 5} + \frac{- 2}{9 y^{2} + 10 y + 5}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $9 y^{2} + 10 y + 5$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (9 y^{2} + 10 y + 5)}{9 y^{2} + 10 y + 5} = \frac{- 12 x^{2}}{9 y^{2} + 10 y + 5} + \frac{- 2}{9 y^{2} + 10 y + 5}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 12 x^{2}}{9 y^{2} + 10 y + 5} + \frac{- 2}{9 y^{2} + 10 y + 5}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 12 x^{2} - 2}{9 y^{2} + 10 y + 5}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $2$ de $- 12 x^{2} - 2$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 12 x^{2}$ .

$y' = \frac{2 (- 6 x^{2}) - 2}{9 y^{2} + 10 y + 5}$

Paso 5.3.3.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$y' = \frac{2 (- 6 x^{2}) + 2 (- 1)}{9 y^{2} + 10 y + 5}$

Paso 5.3.3.2.3

Factoriza $2$ de $2 (- 6 x^{2}) + 2 (- 1)$ .

$y' = \frac{2 (- 6 x^{2} - 1)}{9 y^{2} + 10 y + 5}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- 6 x^{2}$ .

$y' = \frac{2 (- (6 x^{2}) - 1)}{9 y^{2} + 10 y + 5}$

Paso 5.3.3.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{2 (- (6 x^{2}) - 1 (1))}{9 y^{2} + 10 y + 5}$

Paso 5.3.3.5

Factoriza $- 1$ de $- (6 x^{2}) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{2 (- (6 x^{2} + 1))}{9 y^{2} + 10 y + 5}$

Paso 5.3.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.3.6.1

Reescribe $- (6 x^{2} + 1)$ como $- 1 (6 x^{2} + 1)$ .

$y' = \frac{2 (- 1 (6 x^{2} + 1))}{9 y^{2} + 10 y + 5}$

Paso 5.3.3.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{2 (6 x^{2} + 1)}{9 y^{2} + 10 y + 5}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (6 x^{2} + 1)}{9 y^{2} + 10 y + 5}$