Cálculo Ejemplos

$- \frac{1}{6} x^{6} - 2 x^{5}$

Paso 1

Escribe $- \frac{1}{6} x^{6} - 2 x^{5}$ como una función.

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - 2 x^{5}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{1}{6} x^{6} - 2 x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{6}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $- \frac{1}{6}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{6} x^{6}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$- \frac{1}{6} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$- 6 (\frac{1}{6}) x^{5} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

Paso 2.1.2.4

Combina $- 6$ y $\frac{1}{6}$ .

$\frac{- 6}{6} x^{5} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

Paso 2.1.2.5

Combina $\frac{- 6}{6}$ y $x^{5}$ .

$\frac{- 6 x^{5}}{6} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

Paso 2.1.2.6

Cancela el factor común de $- 6$ y $6$ .

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Paso 2.1.2.6.1

Factoriza $6$ de $- 6 x^{5}$ .

$\frac{6 (- x^{5})}{6} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

Paso 2.1.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.6.2.1

Factoriza $6$ de $6$ .

$\frac{6 (- x^{5})}{6 (1)} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

Paso 2.1.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{6 (- x^{5})}{6 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

Paso 2.1.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- x^{5}}{1} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

Paso 2.1.2.6.2.4

Divide $- x^{5}$ por $1$ .

$- x^{5} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{5}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- x^{5} - 2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$- x^{5} - 2 (5 x^{4})$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$f' (x) = - x^{5} - 10 x^{4}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{5} - 10 x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{5}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$- (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}]$

Paso 2.2.2.3

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$- 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}]$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 10 x^{4}]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10 x^{4}$ con respecto a $x$ es $- 10 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 5 x^{4} - 10 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$- 5 x^{4} - 10 (4 x^{3})$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $4$ por $- 10$ .

$f'' (x) = - 5 x^{4} - 40 x^{3}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 5 x^{4} - 40 x^{3}$ .

$- 5 x^{4} - 40 x^{3}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- 5 x^{4} - 40 x^{3} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- 5 x^{4} - 40 x^{3} = 0$

Paso 3.2

Factoriza $- 5 x^{3}$ de $- 5 x^{4} - 40 x^{3}$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $- 5 x^{3}$ de $- 5 x^{4}$ .

$- 5 x^{3} x - 40 x^{3} = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza $- 5 x^{3}$ de $- 40 x^{3}$ .

$- 5 x^{3} x - 5 x^{3} \cdot 8 = 0$

Paso 3.2.3

Factoriza $- 5 x^{3}$ de $- 5 x^{3} (x) - 5 x^{3} (8)$ .

$- 5 x^{3} (x + 8) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

$x + 8 = 0$

Paso 3.4

Establece $x^{3}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $x^{3}$ igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $x^{3} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.4.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 3.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 3.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 3.5

Establece $x + 8$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $x + 8$ igual a $0$ .

$x + 8 = 0$

Paso 3.5.2

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 8$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 5 x^{3} (x + 8) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 8$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $0$ en $f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - 2 x^{5}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = - \frac{1}{6} \cdot {(0)}^{6} - 2 {(0)}^{5}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = - \frac{1}{6} \cdot 0 - 2 {(0)}^{5}$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $- \frac{1}{6} \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.1.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$f (0) = 0 (\frac{1}{6}) - 2 {(0)}^{5}$

Paso 4.1.2.1.2.2

Multiplica $0$ por $\frac{1}{6}$ .

$f (0) = 0 - 2 {(0)}^{5}$

Paso 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0$

Paso 4.1.2.1.4

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Paso 4.1.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - 2 x^{5}$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 4.3

Sustituye $- 8$ en $f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - 2 x^{5}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 8$ en la expresión.

$f (- 8) = - \frac{1}{6} \cdot {(- 8)}^{6} - 2 {(- 8)}^{5}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $6$ .

$f (- 8) = - \frac{1}{6} \cdot 262144 - 2 {(- 8)}^{5}$

Paso 4.3.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{6}$ al numerador.

$f (- 8) = \frac{- 1}{6} \cdot 262144 - 2 {(- 8)}^{5}$

Paso 4.3.2.1.2.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$f (- 8) = \frac{- 1}{2 (3)} \cdot 262144 - 2 {(- 8)}^{5}$

Paso 4.3.2.1.2.3

Factoriza $2$ de $262144$ .

$f (- 8) = \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 131072) - 2 {(- 8)}^{5}$

Paso 4.3.2.1.2.4

Cancela el factor común.

$f (- 8) = \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 131072) - 2 {(- 8)}^{5}$

Paso 4.3.2.1.2.5

Reescribe la expresión.

$f (- 8) = \frac{- 1}{3} \cdot 131072 - 2 {(- 8)}^{5}$

Paso 4.3.2.1.3

Combina $\frac{- 1}{3}$ y $131072$ .

$f (- 8) = \frac{- 1 \cdot 131072}{3} - 2 {(- 8)}^{5}$

Paso 4.3.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $131072$ .

$f (- 8) = \frac{- 131072}{3} - 2 {(- 8)}^{5}$

Paso 4.3.2.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 8) = - \frac{131072}{3} - 2 {(- 8)}^{5}$

Paso 4.3.2.1.6

Eleva $- 8$ a la potencia de $5$ .

$f (- 8) = - \frac{131072}{3} - 2 \cdot - 32768$

Paso 4.3.2.1.7

Multiplica $- 2$ por $- 32768$ .

$f (- 8) = - \frac{131072}{3} + 65536$

Paso 4.3.2.2

Para escribir $65536$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 8) = - \frac{131072}{3} + 65536 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 4.3.2.3

Combina $65536$ y $\frac{3}{3}$ .

$f (- 8) = - \frac{131072}{3} + \frac{65536 \cdot 3}{3}$

Paso 4.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 8) = \frac{- 131072 + 65536 \cdot 3}{3}$

Paso 4.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.5.1

Multiplica $65536$ por $3$ .

$f (- 8) = \frac{- 131072 + 196608}{3}$

Paso 4.3.2.5.2

Suma $- 131072$ y $196608$ .

$f (- 8) = \frac{65536}{3}$

Paso 4.3.2.6

La respuesta final es $\frac{65536}{3}$ .

$\frac{65536}{3}$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 8$ en $f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - 2 x^{5}$ es $(- 8, \frac{65536}{3})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 8, \frac{65536}{3})$

Paso 4.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 0), (- 8, \frac{65536}{3})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 8) \cup (- 8, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 8)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 8.1$ en la expresión.

$f'' (- 8.1) = - 5 {(- 8.1)}^{4} - 40 {(- 8.1)}^{3}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 8.1$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 8.1) = - 5 \cdot 4304.6721 - 40 {(- 8.1)}^{3}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 5$ por $4304.6721$ .

$f'' (- 8.1) = - 21523.3605 - 40 {(- 8.1)}^{3}$

Paso 6.2.1.3

Eleva $- 8.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 8.1) = - 21523.3605 - 40 \cdot - 531.441$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $- 40$ por $- 531.441$ .

$f'' (- 8.1) = - 21523.3605 + 21257.64$

Paso 6.2.2

Suma $- 21523.3605$ y $21257.64$ .

$f'' (- 8.1) = - 265.7205$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 265.7205$ .

$- 265.7205$

Paso 6.3

En $- 8.1$ , la segunda derivada es $- 265.7205$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - 8)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 8)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 8, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f'' (- 4) = - 5 {(- 4)}^{4} - 40 {(- 4)}^{3}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 4) = - 5 \cdot 256 - 40 {(- 4)}^{3}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 5$ por $256$ .

$f'' (- 4) = - 1280 - 40 {(- 4)}^{3}$

Paso 7.2.1.3

Eleva $- 4$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 4) = - 1280 - 40 \cdot - 64$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $- 40$ por $- 64$ .

$f'' (- 4) = - 1280 + 2560$

Paso 7.2.2

Suma $- 1280$ y $2560$ .

$f'' (- 4) = 1280$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $1280$ .

$1280$

Paso 7.3

En $- 4$ , la segunda derivada es $1280$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- 8, 0)$ .

Incremento en $(- 8, 0)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.1$ en la expresión.

$f'' (0.1) = - 5 {(0.1)}^{4} - 40 {(0.1)}^{3}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $0.1$ a la potencia de $4$ .

$f'' (0.1) = - 5 \cdot 0.0001 - 40 {(0.1)}^{3}$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $- 5$ por $0.0001$ .

$f'' (0.1) = - 0.0005 - 40 {(0.1)}^{3}$

Paso 8.2.1.3

Eleva $0.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0.1) = - 0.0005 - 40 \cdot 0.001$

Paso 8.2.1.4

Multiplica $- 40$ por $0.001$ .

$f'' (0.1) = - 0.0005 - 0.04$

Paso 8.2.2

Resta $0.04$ de $- 0.0005$ .

$f'' (0.1) = - 0.0405$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $- 0.0405$ .

$- 0.0405$

Paso 8.3

En $0.1$ , la segunda derivada es $- 0.0405$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(0, \infty)$ .

Decrecimiento en $(0, \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 9

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(- 8, \frac{65536}{3}), (0, 0)$ .

$(- 8, \frac{65536}{3}), (0, 0)$

Paso 10