Cálculo Ejemplos

$y = \frac{\cos (m x)}{\sin (n x)}$

Paso 1

Reescribe $\frac{\cos (m x)}{\sin (n x)}$ como un producto.

$\frac{d}{d x} [\cos (m x) \frac{1}{\sin (n x)}]$

Paso 2

Escribe $\cos (m x)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (m x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (n x)}]$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Divide $\cos (m x)$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (m x) \frac{1}{\sin (n x)}]$

Paso 3.2

Convierte de $\frac{1}{\sin (n x)}$ a $\csc (n x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (m x) \csc (n x)]$

Paso 4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \cos (m x)$ y $g (x) = \csc (n x)$ .

$\cos (m x) \frac{d}{d x} [\csc (n x)] + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

Paso 5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \csc (x)$ y $g (x) = n x$ .

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Paso 5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $n x$ .

$\cos (m x) (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [n x]) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

Paso 5.2

La derivada de $\csc (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$\cos (m x) (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [n x]) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

Paso 5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $n x$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) \frac{d}{d x} [n x]) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

Paso 6

Diferencia.

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Paso 6.1

Como $n$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $n x$ con respecto a $x$ es $n \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) (n \frac{d}{d x} [x])) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

Paso 6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) (n \cdot 1)) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

Paso 6.3

Multiplica $n$ por $1$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

Paso 7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = m x$ .

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Paso 7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $m x$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [m x])$

Paso 7.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [m x])$

Paso 7.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $m x$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (m x) \frac{d}{d x} [m x])$

Paso 8

Diferencia.

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Paso 8.1

Como $m$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $m x$ con respecto a $x$ es $m \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (m x) (m \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (m x) (m \cdot 1))$

Paso 8.3

Multiplica $m$ por $1$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (m x) m)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Reordena los términos.

$- n \cos (m x) \cot (n x) \csc (n x) - m \csc (n x) \sin (m x)$

Paso 9.2

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.1

Reescribe $\cot (n x)$ en términos de senos y cosenos.

$- n \cos (m x) \frac{\cos (n x)}{\sin (n x)} \csc (n x) - m \csc (n x) \sin (m x)$

Paso 9.2.2

Multiplica $- n \cos (m x) \frac{\cos (n x)}{\sin (n x)}$ .

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Paso 9.2.2.1

Combina $\frac{\cos (n x)}{\sin (n x)}$ y $n$ .

$- \frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} \cos (m x) \csc (n x) - m \csc (n x) \sin (m x)$

Paso 9.2.2.2

Combina $\cos (m x)$ y $\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)}$ .

$- \frac{\cos (m x) (\cos (n x) n)}{\sin (n x)} \csc (n x) - m \csc (n x) \sin (m x)$

Paso 9.2.3

Reescribe $\csc (n x)$ en términos de senos y cosenos.

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x)} \cdot \frac{1}{\sin (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

Paso 9.2.4

Multiplica $- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x)} \cdot \frac{1}{\sin (n x)}$ .

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Paso 9.2.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sin (n x)}$ por $\frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x)}$ .

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x) \sin (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

Paso 9.2.4.2

Eleva $\sin (n x)$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{1} (n x) \sin (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

Paso 9.2.4.3

Eleva $\sin (n x)$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{1} (n x) \sin^{1} (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

Paso 9.2.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{{\sin (n x)}^{1 + 1}} - m \csc (n x) \sin (m x)$

Paso 9.2.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{2} (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

Paso 9.2.5

Reescribe $\csc (n x)$ en términos de senos y cosenos.

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{2} (n x)} - m \frac{1}{\sin (n x)} \sin (m x)$

Paso 9.2.6

Combina $\frac{1}{\sin (n x)}$ y $m$ .

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{2} (n x)} - \frac{m}{\sin (n x)} \sin (m x)$

Paso 9.2.7

Combina $\sin (m x)$ y $\frac{m}{\sin (n x)}$ .

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{2} (n x)} - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Paso 9.3

Simplifica cada término.

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Paso 9.3.1

Factoriza $\sin (n x)$ de $\sin^{2} (n x)$ .

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x) \sin (n x)} - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Paso 9.3.2

Separa las fracciones.

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} \cdot \frac{\cos (m x)}{\sin (n x)}) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Paso 9.3.3

Reescribe $\frac{\cos (m x)}{\sin (n x)}$ como un producto.

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} (\cos (m x) \frac{1}{\sin (n x)})) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Paso 9.3.4

Escribe $\cos (m x)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} (\frac{\cos (m x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (n x)})) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Paso 9.3.5

Simplifica.

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Paso 9.3.5.1

Divide $\cos (m x)$ por $1$ .

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} (\cos (m x) \frac{1}{\sin (n x)})) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Paso 9.3.5.2

Convierte de $\frac{1}{\sin (n x)}$ a $\csc (n x)$ .

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} (\cos (m x) \csc (n x))) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Paso 9.3.6

Separa las fracciones.

$- (\frac{n}{1} \cdot \frac{\cos (n x)}{\sin (n x)} (\cos (m x) \csc (n x))) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Paso 9.3.7

Convierte de $\frac{\cos (n x)}{\sin (n x)}$ a $\cot (n x)$ .

$- (\frac{n}{1} \cot (n x) (\cos (m x) \csc (n x))) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Paso 9.3.8

Divide $n$ por $1$ .

$- (n \cot (n x) (\cos (m x) \csc (n x))) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Paso 9.3.9

Separa las fracciones.

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} \cdot \frac{\sin (m x)}{\sin (n x)})$

Paso 9.3.10

Reescribe $\frac{\sin (m x)}{\sin (n x)}$ como un producto.

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} (\sin (m x) \frac{1}{\sin (n x)}))$

Paso 9.3.11

Escribe $\sin (m x)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} (\frac{\sin (m x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (n x)}))$

Paso 9.3.12

Simplifica.

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Paso 9.3.12.1

Divide $\sin (m x)$ por $1$ .

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} (\sin (m x) \frac{1}{\sin (n x)}))$

Paso 9.3.12.2

Convierte de $\frac{1}{\sin (n x)}$ a $\csc (n x)$ .

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} (\sin (m x) \csc (n x)))$

Paso 9.3.13

Divide $m$ por $1$ .

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - m (\sin (m x) \csc (n x))$

Paso 9.4

Reordena los factores en $- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - m (\sin (m x) \csc (n x))$ .

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - m \sin (m x) \csc (n x)$