Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x^{2} \sin (x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{2}$ y $d v = \sin (x)$ .

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) (2 x) d x$

Paso 2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - 2 \cos (x) x d x$

Paso 3

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) x d x)$

Paso 4

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) x d x$

Paso 5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \cos (x)$ .

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + 2 (x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x) d x)$

Paso 6

La integral de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \cos (x)$ .

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + 2 (x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}))$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.1

Evalúa $x^{2} (- \cos (x))$ en $\frac{π}{2}$ y en $0$ .

$({(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2}))) - 0^{2} (- \cos (0)) + 2 (x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}))$

Paso 7.1.2

Evalúa $x \sin (x)$ en $\frac{π}{2}$ y en $0$ .

$({(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2}))) - 0^{2} (- \cos (0)) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}))$

Paso 7.1.3

Evalúa $- \cos (x)$ en $\frac{π}{2}$ y en $0$ .

$({(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2}))) - 0^{2} (- \cos (0)) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Paso 7.1.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.4.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) - 0 (- \cos (0)) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Paso 7.1.4.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 0 (- \cos (0)) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Paso 7.1.4.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 0 \cos (0) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Paso 7.1.4.4

Multiplica $0$ por $\cos (0)$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 0 + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Paso 7.1.4.5

Suma ${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2}))$ y $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Paso 7.1.4.6

Combina $\frac{π}{2}$ y $\sin (\frac{π}{2})$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Paso 7.1.4.7

Multiplica $0$ por $\sin (0)$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + 0 - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Paso 7.1.4.8

Suma $\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2}$ y $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Paso 7.1.4.9

Para escribir $- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} - (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot \frac{2}{2})$

Paso 7.1.4.10

Combina $- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ y $\frac{2}{2}$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 2}{2})$

Paso 7.1.4.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 \frac{π \sin (\frac{π}{2}) - (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 2}{2}$

Paso 7.1.4.12

Multiplica $2$ por $- 1$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 \frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2}$

Paso 7.1.4.13

Combina $2$ y $\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2}$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \frac{2 (π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)))}{2}$

Paso 7.1.4.14

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.4.14.1

Cancela el factor común.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \frac{2 (π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)))}{2}$

Paso 7.1.4.14.2

Divide $π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ por $1$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$

Paso 7.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- 0) + π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$

Paso 7.2.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- 0) + π \cdot 1 - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$

Paso 7.2.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- 0) + π \cdot 1 - 2 (- 0 + \cos (0))$

Paso 7.2.4

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- 0) + π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)$

Paso 7.2.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} \cdot 0 + π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)$

Paso 7.2.6

Multiplica ${(\frac{π}{2})}^{2}$ por $0$ .

$0 + π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)$

Paso 7.2.7

Multiplica $π$ por $1$ .

$0 + π - 2 (- 0 + 1)$

Paso 7.2.8

Suma $0$ y $π$ .

$π - 2 (- 0 + 1)$

Paso 7.2.9

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$π - 2 (0 + 1)$

Paso 7.2.10

Suma $0$ y $1$ .

$π - 2 \cdot 1$

Paso 7.2.11

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$π - 2$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$π - 2$

Forma decimal:

$1.14159265 \dots$