Cálculo Ejemplos

$2 x^{4} (3 x^{2} + 7 x)$

Paso 1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{4} (3 x^{2} + 7 x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{4} (3 x^{2} + 7 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{4} (3 x^{2} + 7 x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = 3 x^{2} + 7 x$ .

$2 (x^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7 x] + (3 x^{2} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} + 7 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$2 (x^{4} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]) + (3 x^{2} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 3.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (x^{4} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]) + (3 x^{2} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (x^{4} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [7 x]) + (3 x^{2} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 3.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$2 (x^{4} (6 x + \frac{d}{d x} [7 x]) + (3 x^{2} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 3.5

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x^{4} (6 x + 7 \frac{d}{d x} [x]) + (3 x^{2} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (x^{4} (6 x + 7 \cdot 1) + (3 x^{2} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 3.7

Multiplica $7$ por $1$ .

$2 (x^{4} (6 x + 7) + (3 x^{2} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$2 (x^{4} (6 x + 7) + (3 x^{2} + 7 x) (4 x^{3}))$

Paso 3.9

Mueve $4$ a la izquierda de $3 x^{2} + 7 x$ .

$2 (x^{4} (6 x + 7) + 4 \cdot (3 x^{2} + 7 x) x^{3})$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (x^{4} (6 x) + x^{4} \cdot 7 + 4 (3 x^{2} + 7 x) x^{3})$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (x^{4} (6 x) + x^{4} \cdot 7 + (4 (3 x^{2}) + 4 (7 x)) x^{3})$

Paso 4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (x^{4} (6 x) + x^{4} \cdot 7 + 4 (3 x^{2}) x^{3} + 4 (7 x) x^{3})$

Paso 4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (x^{4} (6 x)) + 2 (x^{4} \cdot 7) + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

Paso 4.5

Combina los términos.

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Paso 4.5.1

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.5.1.1

Mueve $x$ .

$2 (x \cdot x^{4} \cdot 6) + 2 (x^{4} \cdot 7) + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

Paso 4.5.1.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

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Paso 4.5.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 (x^{1} x^{4} \cdot 6) + 2 (x^{4} \cdot 7) + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

Paso 4.5.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 (x^{1 + 4} \cdot 6) + 2 (x^{4} \cdot 7) + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

Paso 4.5.1.3

Suma $1$ y $4$ .

$2 (x^{5} \cdot 6) + 2 (x^{4} \cdot 7) + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

Paso 4.5.2

Mueve $6$ a la izquierda de $x^{5}$ .

$2 (6 \cdot x^{5}) + 2 (x^{4} \cdot 7) + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

Paso 4.5.3

Multiplica $6$ por $2$ .

$12 x^{5} + 2 (x^{4} \cdot 7) + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

Paso 4.5.4

Mueve $7$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$12 x^{5} + 2 (7 \cdot x^{4}) + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

Paso 4.5.5

Multiplica $7$ por $2$ .

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

Paso 4.5.6

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 2 (12 x^{2} x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

Paso 4.5.7

Multiplica $x^{2}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.5.7.1

Mueve $x^{3}$ .

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 2 (12 (x^{3} x^{2})) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

Paso 4.5.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 2 (12 x^{3 + 2}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

Paso 4.5.7.3

Suma $3$ y $2$ .

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 2 (12 x^{5}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

Paso 4.5.8

Multiplica $12$ por $2$ .

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 24 x^{5} + 2 (4 (7 x) x^{3})$

Paso 4.5.9

Multiplica $7$ por $4$ .

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 24 x^{5} + 2 (28 x \cdot x^{3})$

Paso 4.5.10

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.5.10.1

Mueve $x^{3}$ .

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 24 x^{5} + 2 (28 (x^{3} x))$

Paso 4.5.10.2

Multiplica $x^{3}$ por $x$ .

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Paso 4.5.10.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 24 x^{5} + 2 (28 (x^{3} x^{1}))$

Paso 4.5.10.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 24 x^{5} + 2 (28 x^{3 + 1})$

Paso 4.5.10.3

Suma $3$ y $1$ .

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 24 x^{5} + 2 (28 x^{4})$

Paso 4.5.11

Multiplica $28$ por $2$ .

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 24 x^{5} + 56 x^{4}$

Paso 4.5.12

Suma $12 x^{5}$ y $24 x^{5}$ .

$36 x^{5} + 14 x^{4} + 56 x^{4}$

Paso 4.5.13

Suma $14 x^{4}$ y $56 x^{4}$ .

$36 x^{5} + 70 x^{4}$