Cálculo Ejemplos

$x + \cos (x + y) = 0$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x + \cos (x + y)) = \frac{d}{d x} (0)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \cos (x + y)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = x + y$ .

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Paso 2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + y$ .

$1 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Paso 2.2.1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$1 - \sin (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Paso 2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + y$ .

$1 - \sin (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Paso 2.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - \sin (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 - \sin (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 - \sin (x + y) (1 + y')$

Paso 2.3

Reordena los términos.

$- \sin (x + y) (1 + y') + 1$

Paso 3

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- \sin (x + y) (1 + y') + 1 = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Simplifica $- \sin (x + y) (1 + y') + 1$ .

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Paso 5.1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \sin (x + y) \cdot 1 - \sin (x + y) y' + 1 = 0$

Paso 5.1.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \sin (x + y) - \sin (x + y) y' + 1 = 0$

Paso 5.1.1.2

Reordena los factores en $- \sin (x + y) - \sin (x + y) y' + 1$ .

$- \sin (x + y) - y' \sin (x + y) + 1 = 0$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Suma $\sin (x + y)$ a ambos lados de la ecuación.

$- y' \sin (x + y) + 1 = \sin (x + y)$

Paso 5.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- y' \sin (x + y) = \sin (x + y) - 1$

Paso 5.3

Divide cada término en $- y' \sin (x + y) = \sin (x + y) - 1$ por $- \sin (x + y)$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $- y' \sin (x + y) = \sin (x + y) - 1$ por $- \sin (x + y)$ .

$\frac{- y' \sin (x + y)}{- \sin (x + y)} = \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y)} + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y' \sin (x + y)}{\sin (x + y)} = \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y)} + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $\sin (x + y)$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' \sin (x + y)}{\sin (x + y)} = \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y)} + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y)} + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $\sin (x + y)$ .

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Paso 5.3.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y)} + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

Paso 5.3.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{1}{- 1} + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

Paso 5.3.3.1.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{1}{- 1}$ .

$y' = - 1 \cdot 1 + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

Paso 5.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y' = - 1 + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

Paso 5.3.3.1.3

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y' = - 1 + \frac{1}{\sin (x + y)}$

Paso 5.3.3.1.4

Convierte de $\frac{1}{\sin (x + y)}$ a $\csc (x + y)$ .

$y' = - 1 + \csc (x + y)$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 1 + \csc (x + y)$