Cálculo Ejemplos

$y = \frac{12 e^{6 x} - 9 e^{8 x}}{3 e^{3 x}}$

Paso 1

Cancela el factor común de $12 e^{6 x} - 9 e^{8 x}$ y $3$ .

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Paso 1.1

Factoriza $3$ de $12 e^{6 x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (4 e^{6 x}) - 9 e^{8 x}}{3 e^{3 x}}]$

Paso 1.2

Factoriza $3$ de $- 9 e^{8 x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (4 e^{6 x}) + 3 (- 3 e^{8 x})}{3 e^{3 x}}]$

Paso 1.3

Factoriza $3$ de $3 (4 e^{6 x}) + 3 (- 3 e^{8 x})$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x})}{3 e^{3 x}}]$

Paso 1.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.1

Factoriza $3$ de $3 e^{3 x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x})}{3 (e^{3 x})}]$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x})}{3 e^{3 x}}]$

Paso 1.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}}{e^{3 x}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}$ y $g (x) = e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}] - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{{(e^{3 x})}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{3 x})}^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}] - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{3 x \cdot 2}}$

Paso 3.1.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}] - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 e^{6 x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{8 x}]$ .

$\frac{e^{3 x} (\frac{d}{d x} [4 e^{6 x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{8 x}]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Paso 3.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 e^{6 x}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [e^{6 x}]$ .

$\frac{e^{3 x} (4 \frac{d}{d x} [e^{6 x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{8 x}]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 6 x$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $6 x$ .

$\frac{e^{3 x} (4 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [6 x]) + \frac{d}{d x} [- 3 e^{8 x}]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{e^{3 x} (4 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [6 x]) + \frac{d}{d x} [- 3 e^{8 x}]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $6 x$ .

$\frac{e^{3 x} (4 (e^{6 x} \frac{d}{d x} [6 x]) + \frac{d}{d x} [- 3 e^{8 x}]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{3 x} (4 e^{6 x} (6 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 e^{8 x}]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Paso 5.2

Multiplica $6$ por $4$ .

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{8 x}]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Paso 5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 e^{8 x}]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Paso 5.4

Multiplica $24$ por $1$ .

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} + \frac{d}{d x} [- 3 e^{8 x}]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Paso 5.5

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 e^{8 x}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [e^{8 x}]$ .

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 3 \frac{d}{d x} [e^{8 x}]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Paso 6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 8 x$ .

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Paso 6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $8 x$ .

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 3 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [8 x])) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Paso 6.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 3 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [8 x])) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Paso 6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $8 x$ .

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 3 (e^{8 x} \frac{d}{d x} [8 x])) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Paso 7

Diferencia.

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Paso 7.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 3 e^{8 x} (8 \frac{d}{d x} [x])) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Paso 7.2

Multiplica $8$ por $- 3$ .

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 24 e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Paso 7.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 24 e^{8 x} \cdot 1) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Paso 7.4

Multiplica $- 24$ por $1$ .

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 24 e^{8 x}) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Paso 8

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 8.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $3 x$ .

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 24 e^{8 x}) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

Paso 8.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ es $a^{u_{3}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 24 e^{8 x}) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

Paso 8.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $3 x$ .

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 24 e^{8 x}) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

Paso 9

Diferencia.

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Paso 9.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 24 e^{8 x}) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))}{e^{6 x}}$

Paso 9.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 24 e^{8 x}) - 3 (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) (e^{3 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{e^{6 x}}$

Paso 9.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 24 e^{8 x}) - 3 (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) (e^{3 x} \cdot 1)}{e^{6 x}}$

Paso 9.4

Multiplica $e^{3 x}$ por $1$ .

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 24 e^{8 x}) - 3 (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x}) + e^{3 x} (- 24 e^{8 x}) - 3 (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Paso 10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x}) + e^{3 x} (- 24 e^{8 x}) + (- 3 (4 e^{6 x}) - 3 (- 3 e^{8 x})) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Paso 10.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x}) + e^{3 x} (- 24 e^{8 x}) - 3 (4 e^{6 x}) e^{3 x} - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Paso 10.4

Simplifica el numerador.

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Paso 10.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.4.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{24 e^{3 x} e^{6 x} + e^{3 x} (- 24 e^{8 x}) - 3 (4 e^{6 x}) e^{3 x} - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Paso 10.4.1.2

Multiplica $e^{3 x}$ por $e^{6 x}$ sumando los exponentes.

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Paso 10.4.1.2.1

Mueve $e^{6 x}$ .

$\frac{24 (e^{6 x} e^{3 x}) + e^{3 x} (- 24 e^{8 x}) - 3 (4 e^{6 x}) e^{3 x} - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Paso 10.4.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{24 e^{6 x + 3 x} + e^{3 x} (- 24 e^{8 x}) - 3 (4 e^{6 x}) e^{3 x} - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Paso 10.4.1.2.3

Suma $6 x$ y $3 x$ .

$\frac{24 e^{9 x} + e^{3 x} (- 24 e^{8 x}) - 3 (4 e^{6 x}) e^{3 x} - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Paso 10.4.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{3 x} e^{8 x} - 3 (4 e^{6 x}) e^{3 x} - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Paso 10.4.1.4

Multiplica $e^{3 x}$ por $e^{8 x}$ sumando los exponentes.

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Paso 10.4.1.4.1

Mueve $e^{8 x}$ .

$\frac{24 e^{9 x} - 24 (e^{8 x} e^{3 x}) - 3 (4 e^{6 x}) e^{3 x} - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Paso 10.4.1.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{8 x + 3 x} - 3 (4 e^{6 x}) e^{3 x} - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Paso 10.4.1.4.3

Suma $8 x$ y $3 x$ .

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{11 x} - 3 (4 e^{6 x}) e^{3 x} - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Paso 10.4.1.5

Multiplica $e^{6 x}$ por $e^{3 x}$ sumando los exponentes.

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Paso 10.4.1.5.1

Mueve $e^{3 x}$ .

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{11 x} - 3 (4 (e^{3 x} e^{6 x})) - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Paso 10.4.1.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{11 x} - 3 (4 e^{3 x + 6 x}) - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Paso 10.4.1.5.3

Suma $3 x$ y $6 x$ .

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{11 x} - 3 (4 e^{9 x}) - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Paso 10.4.1.6

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{11 x} - 12 e^{9 x} - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Paso 10.4.1.7

Multiplica $e^{8 x}$ por $e^{3 x}$ sumando los exponentes.

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Paso 10.4.1.7.1

Mueve $e^{3 x}$ .

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{11 x} - 12 e^{9 x} - 3 (- 3 (e^{3 x} e^{8 x}))}{e^{6 x}}$

Paso 10.4.1.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{11 x} - 12 e^{9 x} - 3 (- 3 e^{3 x + 8 x})}{e^{6 x}}$

Paso 10.4.1.7.3

Suma $3 x$ y $8 x$ .

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{11 x} - 12 e^{9 x} - 3 (- 3 e^{11 x})}{e^{6 x}}$

Paso 10.4.1.8

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{11 x} - 12 e^{9 x} + 9 e^{11 x}}{e^{6 x}}$

Paso 10.4.2

Resta $12 e^{9 x}$ de $24 e^{9 x}$ .

$\frac{12 e^{9 x} - 24 e^{11 x} + 9 e^{11 x}}{e^{6 x}}$

Paso 10.4.3

Suma $- 24 e^{11 x}$ y $9 e^{11 x}$ .

$\frac{12 e^{9 x} - 15 e^{11 x}}{e^{6 x}}$

Paso 10.5

Factoriza $3$ de $12 e^{9 x} - 15 e^{11 x}$ .

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Paso 10.5.1

Factoriza $3$ de $12 e^{9 x}$ .

$\frac{3 (4 e^{9 x}) - 15 e^{11 x}}{e^{6 x}}$

Paso 10.5.2

Factoriza $3$ de $- 15 e^{11 x}$ .

$\frac{3 (4 e^{9 x}) + 3 (- 5 e^{11 x})}{e^{6 x}}$

Paso 10.5.3

Factoriza $3$ de $3 (4 e^{9 x}) + 3 (- 5 e^{11 x})$ .

$\frac{3 (4 e^{9 x} - 5 e^{11 x})}{e^{6 x}}$