Cálculo Ejemplos

$\int (3 \sec (6 x) \tan (6 x) - 5 x \csc^{2} (2 x^{2})) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int 3 \sec (6 x) \tan (6 x) - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 3 \sec (6 x) \tan (6 x) d x + \int - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

Paso 3

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int \sec (6 x) \tan (6 x) d x + \int - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

Paso 4

Sea $u_{2} = \sec (6 x)$ . Entonces $d u_{2} = 6 \sec (6 x) \tan (6 x) d x$ , de modo que $\frac{1}{6} d u_{2} = \sec (6 x) \tan (6 x) d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{2} = \sec (6 x)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $\sec (6 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (6 x)]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = 6 x$ .

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Paso 4.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $6 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 4.1.2.2

La derivada de $\sec (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 4.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $6 x$ .

$\sec (6 x) \tan (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 4.1.3

Diferencia.

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Paso 4.1.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (6 x) \tan (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\sec (6 x) \tan (6 x) (6 \cdot 1)$

Paso 4.1.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.3.3.1

Multiplica $6$ por $1$ .

$\sec (6 x) \tan (6 x) \cdot 6$

Paso 4.1.3.3.2

Mueve $6$ a la izquierda de $\sec (6 x) \tan (6 x)$ .

$6 \sec (6 x) \tan (6 x)$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$3 \int \frac{1}{6} d u_{2} + \int - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

Paso 5

Aplica la regla de la constante.

$3 (\frac{1}{6} u_{2} + C) + \int - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

Paso 6

Dado que $- 5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 5$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{6} u_{2} + C) - 5 \int x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

Paso 7

Sea $u_{3} = 2 x^{2}$ . Entonces $d u_{3} = 4 x d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u_{3} = x d x$ . Reescribe mediante $u_{3}$ y $d$ $u_{3}$ .

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Paso 7.1

Deja $u_{3} = 2 x^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 7.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (2 x)$

Paso 7.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u_{3}$ y $d u_{3}$ .

$3 (\frac{1}{6} u_{2} + C) - 5 \int \csc^{2} (u_{3}) \frac{1}{4} d u_{3}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{6}$ y $u_{2}$ .

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - 5 \int \csc^{2} (u_{3}) \frac{1}{4} d u_{3}$

Paso 8.2

Combina $\csc^{2} (u_{3})$ y $\frac{1}{4}$ .

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - 5 \int \frac{\csc^{2} (u_{3})}{4} d u_{3}$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{3}$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - 5 (\frac{1}{4} \int \csc^{2} (u_{3}) d u_{3})$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $- 5$ .

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) + \frac{- 5}{4} \int \csc^{2} (u_{3}) d u_{3}$

Paso 10.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - \frac{5}{4} \int \csc^{2} (u_{3}) d u_{3}$

Paso 11

Como la derivada de $- \cot (u_{3})$ es $\csc^{2} (u_{3})$ , la integral de $\csc^{2} (u_{3})$ es $- \cot (u_{3})$ .

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - \frac{5}{4} (- \cot (u_{3}) + C)$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Simplifica.

$\frac{u_{2}}{2} - \frac{5}{4} (- \cot (u_{3})) + C$

Paso 12.2

Simplifica.

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Paso 12.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{u_{2}}{2} + 1 (\frac{5}{4}) \cot (u_{3}) + C$

Paso 12.2.2

Multiplica $\frac{5}{4}$ por $1$ .

$\frac{u_{2}}{2} + \frac{5}{4} \cot (u_{3}) + C$

Paso 12.2.3

Combina $\frac{5}{4}$ y $\cot (u_{3})$ .

$\frac{u_{2}}{2} + \frac{5 \cot (u_{3})}{4} + C$

Paso 13

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 13.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sec (6 x)$ .

$\frac{\sec (6 x)}{2} + \frac{5 \cot (u_{3})}{4} + C$

Paso 13.2

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $2 x^{2}$ .

$\frac{\sec (6 x)}{2} + \frac{5 \cot (2 x^{2})}{4} + C$

Paso 14

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} \sec (6 x) + \frac{5}{4} \cot (2 x^{2}) + C$