Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (4 - 2 x) - 1}{\ln (2 x - 3)}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 2} \cos (4 - 2 x) - 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} \cos (4 - 2 x) - lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Paso 1.2.1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{\cos (lim_{x \to 2} 4 - 2 x) - lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Paso 1.2.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 2} 4 - lim_{x \to 2} 2 x) - lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Paso 1.2.1.4

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{\cos (4 - lim_{x \to 2} 2 x) - lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Paso 1.2.1.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\cos (4 - (2 lim_{x \to 2} x)) - lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Paso 1.2.1.6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{\cos (4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to 2} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{\cos (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Multiplica $- 1 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Paso 1.2.3.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{\cos (4 - 2 \cdot 2) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Paso 1.2.3.1.1.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{\cos (4 - 4) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Paso 1.2.3.1.2

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{\cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Paso 1.2.3.1.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Paso 1.2.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Paso 1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 2} 2 x - 3)}$

Paso 1.3.1.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 3)}$

Paso 1.3.1.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{\ln (2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 3)}$

Paso 1.3.1.4

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{0}{\ln (2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3)}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{0}{\ln (2 \cdot 2 - 1 \cdot 3)}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{0}{\ln (4 - 1 \cdot 3)}$

Paso 1.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{0}{\ln (4 - 3)}$

Paso 1.3.3.2

Resta $3$ de $4$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Paso 1.3.3.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (4 - 2 x) - 1}{\ln (2 x - 3)} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\cos (4 - 2 x) - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x)]$ .

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Paso 3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 4 - 2 x$ .

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Paso 3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 - 2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 - 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Paso 3.3.1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 - 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Paso 3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 - 2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) \frac{d}{d x} [4 - 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Paso 3.3.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Paso 3.3.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) (0 - 2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Paso 3.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) (0 - 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Paso 3.3.6

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) (0 - 2) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Paso 3.3.7

Resta $2$ de $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) \cdot - 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Paso 3.3.8

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Paso 3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x) + 0}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Paso 3.5

Suma $2 \sin (4 - 2 x)$ y $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 2 x - 3$ .

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Paso 3.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x - 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 3]}$

Paso 3.6.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x - 3]}$

Paso 3.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x - 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} \frac{d}{d x} [2 x - 3]}$

Paso 3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Paso 3.8

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Paso 3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Paso 3.10

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} (2 + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Paso 3.11

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} (2 + 0)}$

Paso 3.12

Suma $2$ y $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} \cdot 2}$

Paso 3.13

Combina $\frac{1}{2 x - 3}$ y $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{2}{2 x - 3}}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 2} 2 \sin (4 - 2 x) \frac{2 x - 3}{2}$

Paso 5

Combina factores.

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Paso 5.1

Combina $\frac{2 x - 3}{2}$ y $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{(2 x - 3) \cdot 2}{2} \sin (4 - 2 x)$

Paso 5.2

Combina $\frac{(2 x - 3) \cdot 2}{2}$ y $\sin (4 - 2 x)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{(2 x - 3) \cdot 2 \sin (4 - 2 x)}{2}$

Paso 6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 2} \frac{(2 x - 3) \cdot 2 \sin (4 - 2 x)}{2}$

Paso 6.2

Divide $(2 x - 3) \sin (4 - 2 x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} (2 x - 3) \sin (4 - 2 x)$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$lim_{x \to 2} 2 x - 3 \cdot lim_{x \to 2} \sin (4 - 2 x)$

Paso 8

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$(lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 3) \cdot lim_{x \to 2} \sin (4 - 2 x)$

Paso 9

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$(2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 3) \cdot lim_{x \to 2} \sin (4 - 2 x)$

Paso 10

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot lim_{x \to 2} \sin (4 - 2 x)$

Paso 11

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot \sin (lim_{x \to 2} 4 - 2 x)$

Paso 12

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot \sin (lim_{x \to 2} 4 - lim_{x \to 2} 2 x)$

Paso 13

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot \sin (4 - lim_{x \to 2} 2 x)$

Paso 14

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot \sin (4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to 2} x)$

Paso 15

Evalúa los límites mediante el ingreso de $2$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 15.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$(2 \cdot 2 - 1 \cdot 3) \cdot \sin (4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to 2} x)$

Paso 15.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$(2 \cdot 2 - 1 \cdot 3) \cdot \sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)$

Paso 16

Simplifica la respuesta.

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Paso 16.1

Simplifica cada término.

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Paso 16.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$(4 - 1 \cdot 3) \cdot \sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)$

Paso 16.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$(4 - 3) \cdot \sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)$

Paso 16.2

Resta $3$ de $4$ .

$1 \cdot \sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)$

Paso 16.3

Multiplica $\sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)$ por $1$ .

$\sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)$

Paso 16.4

Multiplica $- 1 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Paso 16.4.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\sin (4 - 2 \cdot 2)$

Paso 16.4.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\sin (4 - 4)$

Paso 16.5

Resta $4$ de $4$ .

$\sin (0)$

Paso 16.6

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$0$