Cálculo Ejemplos

$- x^{3} + 5 x - 3 y^{2} + 2 = 0$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (- x^{3} + 5 x - 3 y^{2} + 2) = \frac{d}{d x} (0)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{3} + 5 x - 3 y^{2} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 3 x^{2} + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$- 3 x^{2} + 5 + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 y^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- 3 x^{2} + 5 - 3 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$- 3 x^{2} + 5 - 3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 5 - 3 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$- 3 x^{2} + 5 - 3 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.4.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 3 x^{2} + 5 - 3 (2 y y') + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.4.4

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$- 3 x^{2} + 5 - 6 y y' + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 3 x^{2} + 5 - 6 y y' + 0$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Suma $- 3 x^{2} + 5 - 6 y y'$ y $0$ .

$- 3 x^{2} + 5 - 6 y y'$

Paso 2.6.2

Reordena los términos.

$- 3 x^{2} - 6 y y' + 5$

Paso 3

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 3 x^{2} - 6 y y' + 5 = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Suma $3 x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$- 6 y y' + 5 = 3 x^{2}$

Paso 5.1.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$- 6 y y' = 3 x^{2} - 5$

Paso 5.2

Divide cada término en $- 6 y y' = 3 x^{2} - 5$ por $- 6 y$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $- 6 y y' = 3 x^{2} - 5$ por $- 6 y$ .

$\frac{- 6 y y'}{- 6 y} = \frac{3 x^{2}}{- 6 y} + \frac{- 5}{- 6 y}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $- 6$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 6 y y'}{- 6 y} = \frac{3 x^{2}}{- 6 y} + \frac{- 5}{- 6 y}$

Paso 5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{- 6 y} + \frac{- 5}{- 6 y}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{- 6 y} + \frac{- 5}{- 6 y}$

Paso 5.2.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{- 6 y} + \frac{- 5}{- 6 y}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1.1

Cancela el factor común de $3$ y $- 6$ .

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Paso 5.2.3.1.1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (x^{2})}{- 6 y} + \frac{- 5}{- 6 y}$

Paso 5.2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1.1.2.1

Factoriza $3$ de $- 6 y$ .

$y' = \frac{3 (x^{2})}{3 (- 2 y)} + \frac{- 5}{- 6 y}$

Paso 5.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 (- 2 y)} + \frac{- 5}{- 6 y}$

Paso 5.2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{x^{2}}{- 2 y} + \frac{- 5}{- 6 y}$

Paso 5.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{x^{2}}{2 y} + \frac{- 5}{- 6 y}$

Paso 5.2.3.1.3

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y' = - \frac{x^{2}}{2 y} + \frac{5}{6 y}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{2 y} + \frac{5}{6 y}$