Cálculo Ejemplos

$y = {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{3}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{x + 1}{x - 1})}^{3})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x + 1$ y $g (x) = x - 1$ .

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.4.2

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.8

Combina fracciones.

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Paso 3.3.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.8.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.8.3

Combina $\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ y $3$ .

$\frac{(x - 1 - (x + 1)) \cdot 3}{{(x - 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2}$

Paso 3.3.8.4

Mueve $3$ a la izquierda de $x - 1 - (x + 1)$ .

$\frac{3 \cdot (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Aplica la regla del producto a $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (x - 1 - x - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x + 3 \cdot - 1 + 3 (- x) + 3 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4

Combina los términos.

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Paso 3.4.4.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{3 x - 3 + 3 (- x) + 3 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{3 x - 3 - 3 x + 3 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{3 x - 3 - 3 x + 3 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{3 x - 3 - 3 x - 3}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.5

Resta $3 x$ de $3 x$ .

$\frac{0 - 3 - 3}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.6

Resta $3$ de $0$ .

$\frac{- 3 - 3}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.7

Resta $3$ de $- 3$ .

$\frac{- 6}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{6}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.9

Multiplica $\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ por $\frac{6}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 6}{{(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.10

Multiplica ${(x - 1)}^{2}$ por ${(x - 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.4.10.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 6}{{(x - 1)}^{2 + 2}}$

Paso 3.4.4.10.2

Suma $2$ y $2$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 6}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 3.4.4.11

Mueve $6$ a la izquierda de ${(x + 1)}^{2}$ .

$- \frac{6 {(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - \frac{6 {(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 {(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$