Cálculo Ejemplos

$x^{5} e^{- 3 \ln (x)}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = e^{- 3 \ln (x)}$ .

$x^{5} \frac{d}{d x} [e^{- 3 \ln (x)}] + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - 3 \ln (x)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 3 \ln (x)$ .

$x^{5} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{5} (e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 3 \ln (x)$ .

$x^{5} (e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 3

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 \ln (x)$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$x^{5} (e^{- 3 \ln (x)} (- 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)])) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 4

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} (e^{- 3 \ln (x)} (- 3 \frac{1}{x})) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 5.1

Combina $- 3$ y $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} (e^{- 3 \ln (x)} \frac{- 3}{x}) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 5.2

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{5} (e^{- 3 \ln (x)} (- \frac{3}{x})) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 5.2.2

Combina $e^{- 3 \ln (x)}$ y $\frac{3}{x}$ .

$x^{5} (- \frac{e^{- 3 \ln (x)} \cdot 3}{x}) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 5.2.3

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{- 3 \ln (x)}$ .

$x^{5} (- \frac{3 \cdot e^{- 3 \ln (x)}}{x}) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 5.2.4

Combina $x^{5}$ y $\frac{3 e^{- 3 \ln (x)}}{x}$ .

$- \frac{x^{5} (3 e^{- 3 \ln (x)})}{x} + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 5.2.5

Cancela el factor común de $x^{5}$ y $x$ .

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Paso 5.2.5.1

Factoriza $x$ de $x^{5} (3 e^{- 3 \ln (x)})$ .

$- \frac{x (x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)}))}{x} + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 5.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{x (x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)}))}{x^{1}} + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 5.2.5.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$- \frac{x (x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)}))}{x \cdot 1} + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 5.2.5.2.3

Cancela el factor común.

$- \frac{x (x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)}))}{x \cdot 1} + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 5.2.5.2.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)})}{1} + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 5.2.5.2.5

Divide $x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)})$ por $1$ .

$- (x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)})) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 5.2.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 3 (x^{4} (e^{- 3 \ln (x)})) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$- 3 x^{4} e^{- 3 \ln (x)} + e^{- 3 \ln (x)} (5 x^{4})$

Paso 6

Suma $- 3 x^{4} e^{- 3 \ln (x)}$ y $e^{- 3 \ln (x)} (5 x^{4})$ .

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Paso 6.1

Mueve $e^{- 3 \ln (x)}$ .

$- 3 x^{4} e^{- 3 \ln (x)} + 5 x^{4} e^{- 3 \ln (x)}$

Paso 6.2

Suma $- 3 x^{4} e^{- 3 \ln (x)}$ y $5 x^{4} e^{- 3 \ln (x)}$ .

$2 x^{4} e^{- 3 \ln (x)}$