Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x + 3} - \frac{3}{3}}{3 x}$

Paso 1

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x + 3} - \frac{3}{3}}{3 x}$

Paso 1.1.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x + 3} - 1 \cdot 1}{3 x}$

Paso 1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x + 3} - 1}{3 x}$

Paso 2

Mueve el término $\frac{1}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x + 3} - 1}{x}$

Paso 3

Combina los términos.

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Paso 3.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x + 3} - 1 \cdot \frac{x + 3}{x + 3}}{x}$

Paso 3.2

Combina $- 1$ y $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x + 3} + \frac{- (x + 3)}{x + 3}}{x}$

Paso 3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 - (x + 3)}{x + 3}}{x}$

Paso 4

Simplifica el argumento de límite.

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Paso 4.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{3 - (x + 3)}{x + 3} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{3 - (x + 3)}{x + 3}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{3 - (x + 3)}{(x + 3) x}$

Paso 5

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 5.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 5.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 3 - (x + 3)}{lim_{x \to 0} (x + 3) x}$

Paso 5.1.2

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 5.1.2.1

Evalúa el límite de $3 - (x + 3)$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - (0 + 3)}{lim_{x \to 0} (x + 3) x}$

Paso 5.1.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.2.2.1

Suma $0$ y $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} (x + 3) x}$

Paso 5.1.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 3}{lim_{x \to 0} (x + 3) x}$

Paso 5.1.2.3

Resta $3$ de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} (x + 3) x}$

Paso 5.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 5.1.3.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x + 3 \cdot lim_{x \to 0} x}$

Paso 5.1.3.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 3) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Paso 5.1.3.3

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 0} x + 3) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Paso 5.1.3.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 5.1.3.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(0 + 3) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Paso 5.1.3.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(0 + 3) \cdot 0}$

Paso 5.1.3.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1.3.5.1

Suma $0$ y $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{3 \cdot 0}$

Paso 5.1.3.5.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 5.1.3.5.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 5.1.3.6

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 5.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 5.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{3 - (x + 3)}{(x + 3) x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 - (x + 3)]}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Paso 5.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 5.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 - (x + 3)]}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Paso 5.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - (x + 3)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- (x + 3)]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- (x + 3)]}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Paso 5.3.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- (x + 3)]}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Paso 5.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- (x + 3)]$ .

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Paso 5.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- (x + 3)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x + 3]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Paso 5.3.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Paso 5.3.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - (1 + \frac{d}{d x} [3])}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Paso 5.3.4.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Paso 5.3.4.5

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Paso 5.3.4.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Paso 5.3.5

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Paso 5.3.6

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x + 3$ y $g (x) = x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{(x + 3) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [x + 3]}$

Paso 5.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{(x + 3) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [x + 3]}$

Paso 5.3.8

Multiplica $x + 3$ por $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 3 + x \frac{d}{d x} [x + 3]}$

Paso 5.3.9

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 3 + x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}$

Paso 5.3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 3 + x (1 + \frac{d}{d x} [3])}$

Paso 5.3.11

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 3 + x (1 + 0)}$

Paso 5.3.12

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 3 + x \cdot 1}$

Paso 5.3.13

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 3 + x}$

Paso 5.3.14

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 x + 3}$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 3}$

Paso 6.2

Evalúa el límite de $- 1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 3}$

Paso 6.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 3}$

Paso 6.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 3}$

Paso 6.5

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{2 lim_{x \to 0} x + 3}$

Paso 7

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 0 + 3}$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Simplifica el denominador.

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Paso 8.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{0 + 3}$

Paso 8.1.2

Suma $0$ y $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{3}$

Paso 8.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$

Paso 8.3

Multiplica $\frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$ .

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Paso 8.3.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3 \cdot 3}$

Paso 8.3.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \frac{1}{9}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{9}$

Forma decimal:

$- 0.\overline{1}$