Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{6} (x^{2} + x + 1) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{0}^{6} x^{2} + x + 1 d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{6} x^{2} d x + \int_{0}^{6} x d x + \int_{0}^{6} d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6} + \int_{0}^{6} x d x + \int_{0}^{6} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6} + \int_{0}^{6} d x$

Paso 5

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6} + x]_{0}^{6}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Simplifica.

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Paso 6.1.1

Combina $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6}$ y $\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6} + x]_{0}^{6}$

Paso 6.1.2

Combina $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$ y $x]_{0}^{6}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + x]_{0}^{6}$

Paso 6.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.2.1

Evalúa $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + x$ en $6$ y en $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 6^{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 6) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Paso 6.2.2

Simplifica.

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Paso 6.2.2.1

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 216 + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Paso 6.2.2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $216$ .

$\frac{216}{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Paso 6.2.2.3

Cancela el factor común de $216$ y $3$ .

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Paso 6.2.2.3.1

Factoriza $3$ de $216$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Paso 6.2.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.3.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Paso 6.2.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Paso 6.2.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{72}{1} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Paso 6.2.2.3.2.4

Divide $72$ por $1$ .

$72 + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Paso 6.2.2.4

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$72 + \frac{1}{2} \cdot 36 + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Paso 6.2.2.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $36$ .

$72 + \frac{36}{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Paso 6.2.2.6

Cancela el factor común de $36$ y $2$ .

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Paso 6.2.2.6.1

Factoriza $2$ de $36$ .

$72 + \frac{2 \cdot 18}{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Paso 6.2.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$72 + \frac{2 \cdot 18}{2 (1)} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Paso 6.2.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$72 + \frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Paso 6.2.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$72 + \frac{18}{1} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Paso 6.2.2.6.2.4

Divide $18$ por $1$ .

$72 + 18 + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Paso 6.2.2.7

Suma $72$ y $18$ .

$90 + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Paso 6.2.2.8

Suma $90$ y $6$ .

$96 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Paso 6.2.2.9

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$96 - (\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Paso 6.2.2.10

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $0$ .

$96 - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Paso 6.2.2.11

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$96 - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0 + 0)$

Paso 6.2.2.12

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$96 - (0 + 0 + 0)$

Paso 6.2.2.13

Suma $0$ y $0$ .

$96 - (0 + 0)$

Paso 6.2.2.14

Suma $0$ y $0$ .

$96 - 0$

Paso 6.2.2.15

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$96 + 0$

Paso 6.2.2.16

Suma $96$ y $0$ .

$96$

Paso 7